Группа не изоморфна собственной подгруппе

[StudentV]

Здравствуйте.

Пусть $G$ - группа. Подгруппа $A \subset G$ называется собственной, если не совпадает с $G$ и тривиальной группой (из одного нейтрального элемента $e$).

Задача. Доказать, что $A$ не изоморфна $G$.

Попытки решения, если это можно так назвать:
- нужно использовать тот факт, что существует элемент $g \in G, g \notin A$, т.к. именно это и отличает $A$ от $G$. Раз такой элемент существует, то есть и его циклическая подгруппа $\langle g \rangle$, и за исключением нейтрального элемента $e$ вся она не лежит в $A$.
- задача будет решена, если удастся показать, что при любом гомоморфизме $f \colon G \to A$ какой-то из элементов $g \in G \setminus A$ отображается в $e$;
- возможно, удастся использовать тот факт, что у элемента $f(g)$ единственный обратный. Мне почему-то кажется, что обратный элемент к $f(g)$, где $g \in G \setminus A$, это какая-то зацепка.

Подскажите, пожалуйста, с какого конца взяться за задачу.

[drzewo]

StudentV в сообщении #1680097 писал(а):

Пусть $G$ - группа. Подгруппа $A \subset G$ называется собственной, если не совпадает с $G$ и тривиальной группой (из одного нейтрального элемента $e$).

Задача. Доказать, что $A$ не изоморфна $G$.

А это вообще верно? Берем группу по сложению последовательностей $(x_1,x_2,\ldots)$. И подгруппу последовательностей, которые начинаются с нуля $(0,y_2,\ldots)$

[StudentV]

drzewo в сообщении #1680103 писал(а):

А это вообще верно?

Хм, а если рассмотреть $\mathbb Z$ как группу по сложению и $2 \mathbb Z$ как ее подгруппу? Умножение на двойку это же изоморфизм?

Я, похоже совсем тупой Ведь приходил в голову этот пример, но какого-то черта перепутал сложение с умножением и решил, что там множитель удваивается

Удалите эту тему, если можно.

[Anton_Peplov]

StudentV в сообщении #1680105 писал(а):

Я, похоже совсем тупой

Ну зачем же так. Просто поторопились доказывать, не попытавшись как следует опровергнуть. Знакомая ошибка. Вы бы знали, какие вопросы меня Господь отвел задать на dxdy. Если б я все их задал, меня бы лишили гражданских прав и талонов на водку.

Вообще, в математике часто структура изоморфна своей подструктуре. Группа может быть изоморфна собственной подгруппе. Топологическое пространство может быть гомеоморфно собственному подпространству ($\mathbb R$ гомеоморфно интервалу). Метрическое пространство может быть изометрично собственному подпространству (дискретная метрика на любом бесконечном множестве).

Запрет на такое "самоподобие" возникает, когда структура в некотором смысле конечна. Конечное множество не равномощно собственному подмножеству, что сразу ставит крест на изоморфизмах любых введенных на нем структур. Конечномерное линейное пространство не изоморфно собственному подпространству. Но тут тоже надо быть осторожным. Например, компактность - тоже в некотором смысле аналог конечности, но это не мешает отрезку быть гомеоморфным своему подотрезку.

[Ende]

Выделена тема «Неизометричность компакта собственному подмножеству».