Эквивалентное определение непрерывности

[Gg322]

Функция $f: X \to Y$ - непрерывная $\Longleftrightarrow$ $Int f(A)\subset f( Int A)$ для любого $A \subset X$, $IntA$ - внутренность множества $A$. Как можно доказать?

[drzewo]

Gg322 в сообщении #1680113 писал(а):

Функция $f: X \to Y$ - непрерывная $\Longleftrightarrow$ $Int f(A)\subset f( Int A)$ для любого $A \subset X$,

что-то сомнительно это

[Gg322]

drzewo
Мне тоже так кажется, но контрпример не придумал. Просто в учебники просили сформулировать определение непрерывности через образ функции и $Cl A$ - замыкание множества $A$. И в ответе также было сформулировано определение непрерывности через внутренность.

[drzewo]

должно быть $f^{-1}(\mathrm{Int}\,A)\subset \mathrm{Int}\,f^{-1}(A)$

-- 27.03.2025, 19:32 --

Может быть так, что $\mathrm{Int}\, f(X)=\emptyset$ -- но не каждое же такое отображение непрерывно

[Gg322]

drzewo
Просто для замыкания верно: f - непрерывная $\Longleftrightarrow$ $f(ClA) \subset Cl f(A)$ для любого $A \subset X$.

[skobar]

Gg322 в сообщении #1680113 писал(а):

Функция $f: X \to Y$ - непрерывная $\Longleftrightarrow$ $Int f(A)\subset f( Int A)$ для любого $A \subset X$, $IntA$ - внутренность множества $A$. Как можно доказать?

Контрпример: пусть $X=\mathbb{R}$ с обычной топологией, $Y=\{e\}$ - одноточечное множество с дискретной топологией, $f:X\to Y, f(x)=e \ \ \forall x\in X, A=\{0\}$
Тогда $f$ - непрерывное отображение, $int f(A)=int \{e\}=\{e\}, f(int A)=f(\varnothing) = \varnothing$

[Gg322]

skobar
Спасибо.