Задача Бюффона

[kdm]

Решить задачу Бюффона о вероятности пересечения иглой хотя бы одной из прямых для случая $l > L$

Задача Бюффона:
Иглу длиной l бросают на плоскость, на которой на расстоянии L друг от друга проведены параллельные линии. Определить вероятность пересечения иглой одной из линий, если $l < L$

Как решается задача, если $l < L$ понятно, т.к. условия пересечения иглой одной из линии записывается просто в виде: $0 < x < lsin(\phi)/2$.

А вот как быть в случае $l > L$ мне пока вообще не понятно.
Посоветуйте что-нибудь, либо наверняка это где-то разобрано, но я не нашел.

[--mS--]

Кендалл М. Моран П. Геометрические вероятности, стр. 83.

[kdm]

Спасибо большое.

Правда там не очень разобрано)
Не совсем понятно откуда берется такая вероятность хотя бы одного пересечения
$P = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{arcsin L^{-1}} (1 - L|sin \theta|)d\theta$

Подынтегральная функция понятна, а вот почему верхняя граница $arcsin L^{-1}$ и константа перед интегралом $\frac{1}{\pi}$ не совсем.

Или $arcsin L^{-1}$ берется как угол из соответствующего треугольника? но про константу пока не понял

[Профессор Снэйп]

kdm писал(а):

$P = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{arcsin L^{-1}} (1 - L|sin \theta|)d\theta$

Что-то у Вас выражение от $l$ вообще не зависит. Это выглядит довольно странно.

[--mS--]

Там L - длина иглы, а расстояние между прямыми равно единице. Нормирующая константа $1/\pi$ - из области $\theta\in[0,\pi]$.

[ewert]

kdm писал(а):

, а вот почему верхняя граница $arcsin L^{-1}$

Нарисуйте пространство событий (прямоугольник) и в нём область, отвечающую искомому событию. Увидите, что граница области пересекает горизонтальную границу прямоугольника, а не вертикальную, как в случае "классической" задачи Бюффона. Отсюда и арксинус.