Замкнутое подпространство рефлексивного рефлексивно

[Padawan]

Задача: доказать, что замкнутое векторное подпространство рефлексивного нормированного пространства рефлексивно.
Решение: Пусть $X_0$ -- замкнутое векторное подпространство рефлексивного нормированного пространства $X$. Пусть $L\in X_0^{\ast\ast}$. Рассмотрим функционал на пространстве $X^\ast$, заданный следующим образом $X^\ast\ni F\mapsto L(F\mid_{X_0})\in\mathbb C$, где $F\mid_{X_0}$ -- сужение функционала $F\in X^\ast$ на подпространство $X_0$. Это непрерывный линейный функционал на $X^\ast$, то есть элемент пространства $X^{\ast\ast}$. Так как $X$ по условию рефлексивно, то существует вектор $l\in X$ такой, что

$$L(F\mid_{X_0})=F(l)$$

для любого $F\in X^\ast$. Отсюда получаем, что $l\in X_0$, та как иначе по теореме Хана-Банаха нашелся бы $F\in X^\ast$ такой, что $F\mid_{X_0}\equiv 0$, но $F(l)\neq 0$, что противоречит приведенному равенству. Но $F\mid_{X_0}$ при всевозможных $F\in X^\ast $ опять же по теореме Хана-Банаха дает всё $X_0^\ast$. Поэтому $L(f)=f(l)$ для всех $f\in X_0^\ast$, где $l\in X_0$. Это и означает рефлексивность $X_0$.

Верное доказательство? Все ок?

[drzewo]

(Оффтоп)

Пространство рефлексивно тогда и только тогда, когда всякая ограниченная последовательность содержит слабо сходящуюся подпоследовательность. Пусть
$\{x_n\}\subset X_0$ -- ограничена. Следовательно, существует $\{x_{n_j}\}\subset \{x_n\}$ которая сходится слабо к $\tilde x\in X$ в смысле $\sigma(X,X')$ Поскольку сильно замкнутое выпуклое множество слабо замкнуто, $\tilde x\in X_0 $
Но всякий $f\in X'_0$ продолжается на $X$.
Вроде все доказано.

[Padawan]

drzewo
А что по поводу моего доказательства?

[drzewo]

я не вижу ошибок

[Padawan]

drzewo
Спасибо