Линейные дифференциальные уравнения

[drzewo]

Mikhail_K в сообщении #1678723 писал(а):

Ну здесь я собственно и говорю, что билинейная форма - это не линейный оператор. Так что никак не собираюсь (если скалярного произведения нет)

ok, с этим разобрались

Mikhail_K в сообщении #1678715 писал(а):

Но, как ни крути, удобно отождествить векторы с вектор-столбцами, ковекторы с вектор-строками, линейные операторы (но не билинейные формы) с матрицами

осталось понять, в чем проблема с матрицей билинейной формы

[Mikhail_K]

drzewo в сообщении #1678727 писал(а):

осталось понять, в чем проблема с матрицей билинейной формы

Никакой проблемы. Конечно, можно говорить о матрице линейного оператора и о матрице билинейной формы. Матрицы удобно отождествлять с операторами (при работе в одном базисе и отождествлении векторов с вектор-столбцами из их координат), просто благодаря тому что в записи $Ax$ букву $A$ можно прочитать хоть как матрицу, хоть как оператор. Но тогда не стоит отождествлять матрицы с билинейными формами, потому что линейные операторы и билинейные формы - объекты разные, и потому что матрицу нельзя умножить сразу на два вектор-столбца.

Возможно, мне не стоило всё это писать, потому что никакого глубокого математического смысла здесь и вправду нет.

[drzewo]

Предлагаю сойтись на отождествлении матрицы билинейной формы $f(x,y)=x^TAy$ с матрицей оператора
$x\mapsto f(x,\cdot)$ который действует из пространства $L=\mathbb{R}^m$ в пространство $L'$ со взаимными базисами.


-- 15.03.2025, 23:06 --

Mikhail_K в сообщении #1678729 писал(а):

глубокого математического смысла здесь и вправду нет.

глубокий смысл был в начале темы: в уравнении $\dot x=Ax$ матрица $A$ -- это матрица линейного оператора и это диктуется ни какими-то конвенциональными штучками, а самим уравнением, совершенно объективно

[Mikhail_K]

drzewo в сообщении #1678730 писал(а):

Предлагаю сойтись на отождествлении матрицы билинейной формы $f(x,y)=x^TAy$ с матрицей оператора
$y\mapsto f(\cdot,y)$ который действует из пространства $L=\mathbb{R}^m$ в пространство $L'$.

Да, так я себе это и представляю, на самом деле. Билинейная форма - это "матрица", у которой и строки, и столбцы имеют статус строк. Поэтому при умножении такой "матрицы" на вектор-столбец (обозначающий элемент из $L$) получается вектор-строка (обозначающая элемент из $L'$), которую можно и ещё раз умножить на вектор-столбец и получить число.

И вообще, тензор типа $(p,q)$ (полилинейный функционал от $p$ векторов и $q$ ковекторов) удобно представлять как $p+q$-мерную таблицу чисел, у которой $p$ измерений имеют статус строк, а $q$ измерений - статус столбцов.

[Mikhail_K]

drzewo в сообщении #1678730 писал(а):

глубокий смысл был в начале темы: в уравнении $\dot x=Ax$ матрица $A$ -- это матрица линейного оператора и это диктуется ни какими-то конвенциональными штучками, а самим уравнением, совершенно объективно

Напишу свои соображения об этом, потому что, кажется, не у меня одного здесь было некоторое недоумение (или недопонимание).

drzewo в сообщении #1678683 писал(а):

В системе $\dot x=Ax$ выполним линейную замену координат с постоянной матрицей: $x=Cy$. Тогда $\dot y=C^{-1}ACy.$ Таким образом, матрица системы при линейной замене переменных преобразуется так, как положено преобразовываться матрице линейного оператора.

Тут есть несколько аспектов.

1) Я привык к такому определению линейного оператора: $A$ линейный, если выполняется $A(\alpha x_1+\beta x_2)=\alpha Ax_1+\beta Ax_2$, безо всяких переходов в другие базисы. Правая часть уравнения $\dot x=Ax$ этому условию удовлетворяет: если вместо $x$ подставить в правую часть линейную комбинацию, то и получится линейная комбинация, согласно свойствам умножения матриц. Для меня вопрос о линейности на этом и закрыт.

2) Видимо, речь шла о том, что запись уравнения инвариантна относительно перехода в другие базисы: везде будет матрица одного и того же оператора. Именно это утверждение непосредственно проверялось в рассуждении с матрицей $C$. Но вручную это проверять вовсе не обязательно: достаточно заметить, что $\dot x=Ax$ - это корректное операторное равенство (включающее действия над векторами, а не над координатами, и не привязанное к конкретному базису; здесь учитывается, что покоординатная сходимость из определения производной от базиса не зависит). Точнее, чтобы получить такое операторное равенство, надо взять оператор, имеющий матрицу $A$ в стандартном базисе. Тогда это равенство будет справедливо в стандартном базисе (если $x$ - решение), а так как оно не зависит от базиса - то будет справедливо и в любом другом.

3) Теперь рассмотрим приведённый выше контрпример:

drzewo в сообщении #1678707 писал(а):

Mikhail_K в сообщении #1678706 писал(а):

Если мы видим запись $Ax$, это значит, что матрица $A$ умножается на вектор-столбец $x$, или, что то же самое, линейный оператор $A$ в арифметическом пространстве $\mathbb{R}^n$

Автоматически нет, не значит. Например, в теории малых колебаний лагранжевых систем рассматривается система $G\ddot x+Bx=0$ где $G,B$ -- матрицы билинейных симметрических форм ($G$ -- положительно определена).
Поэтому проверять с каким тензором мы имеем дело необходимо.

Левая часть уравнения $G\ddot x+Bx=0$ также линейна относительно $x$. Мы можем взять операторы, имеющие матрицы $G$ и $B$ в стандартном базисе, и равенство с этими операторами будет верно в любом базисе. Так что тут тоже можно рассматривать $G$ и $B$ как линейные операторы.

4) Однако есть нюанс. Обозначим через $L$ пространство, к которому принадлежат векторы $x(t)$. Тогда и $A$ из первого примера, и $G$ и $B$ из второго примера являются линейными операторами, действующими на векторы из $L$. Но в какое пространство они действуют? В первом примере $\dot x=Ax$ обязательно $A:\,L\to L$, так как $x$ и $\dot x$ должны принадлежать одному и тому же пространству $L$. А во втором примере $G\ddot x+Bx=0$ необязательно: главное чтобы операторы $G$ и $B$ действовали в одно и то же пространство, чтобы $G\ddot x$ и $Bx$ можно было сложить. Таким образом, может быть $G:\,L\to M$, $B:\,L\to M$ с любым векторным пространством $M$ подходящей размерности. В частности, если $M=L'$ (пространство линейных функционалов на $L$), то $G$ и $B$ будут билинейными формами. Потому что билинейная форма на $L$ - это и есть линейный оператор из $L$ в $L'$:

drzewo в сообщении #1678730 писал(а):

Предлагаю сойтись на отождествлении матрицы билинейной формы $f(x,y)=x^TAy$ с матрицей оператора $x\mapsto f(x,\cdot)$ который действует из пространства $L=\mathbb{R}^m$ в пространство $L'$ со взаимными базисами.

(Другими словами: когда мы подставляем в билинейную форму один вектор, то остаётся подставить ещё один, т.е. получается линейный функционал, в который можно подставить оставшийся вектор; таким образом билинейная форма ставит в соответствие каждому вектору линейный функционал, он же ковектор. И это соответствие линейно.)

Так что в первом примере можно понимать матрицу $A$ только как матрицу линейного оператора $L\to L$, а во втором примере можно понимать матрицы $G$ и $B$ как матрицы линейных операторов $L\to M$ с любым пространством $M$ подходящей размерности, в частности как матрицы билинейных форм $L\to L'$.

[мат-ламер]

Mikhail_K в сообщении #1636448 писал(а):

Любая матрица является матрицей некоторого линейного оператора.

Mikhail_K
Может вы поясните сказанное вами? Что значит "любая матрица"? Это просто произвольный набор чисел, расположенный прямоугольником? И больше у нас ничего нет и остальное (пространства, базисы в нём) мы уже сами должны организовать? Или к матрице придаётся некий "паспорт", в котором описывается, как она возникла? И пространства и базисы в них уже заранее зафиксированы? Хотелось бы понять суть дискуссии.

[drzewo]

Mikhail_K в сообщении #1678737 писал(а):

Таким образом, может быть $G:\,L\to M$, $B:\,L\to M$ с любым векторным пространством $M$ подходящей размерности.

там еще было сказано про симметричность,
поэтому любое не подойдет.

-- 16.03.2025, 11:13 --

Mikhail_K в сообщении #1678737 писал(а):

Но вручную это проверять вовсе не обязательно:

Важно, что мы сошлись на том, что проверять следует, а координатным способом или безкоординатным -- это уже вопрос языка

[Mikhail_K]

мат-ламер
Думаю, уже нет никакой дискуссии.
Разумеется, матрице соответствует линейный оператор только если зафиксированы пространства и базисы.