Линейные дифференциальные уравнения

[Mikhail_K]

drzewo в сообщении #1678700 писал(а):

Нет, тут как раз фундаментальный вопрос, который Вы не поняли. Точнее говоря, не захотели понять.

Мне не нравится подход "чтобы понять, что перед нами за объект, посмотрим, как он преобразуется при замене базиса". Этот подход я понимаю, конечно - но он не кажется мне сколько-то эстетичным. Возможно, он может быть полезен и даже выглядеть естественно в каких-то задачах механики, не знаю. Признаю, что это мой субъективный взгляд - но мне бы и в голову не пришло на стартовый вопрос темы отвечать с привлечением замен координат.

Если мы видим запись $Ax$, это значит, что матрица $A$ умножается на вектор-столбец $x$, или, что то же самое, линейный оператор $A$ в арифметическом пространстве $\mathbb{R}^n$ действует на вектор $x\in\mathbb{R}^n$. Это просто одно и то же, и не требует дополнительного рассмотрения каких-то преобразований базисов.

Если бы в правой части стояло что-нибудь вроде $(Ax,x)$ или $(Ax,y)$, со стандартным скалярным произведением в $\mathbb{R}^n$, мы могли бы говорить про $A$ одновременно как про матрицу оператора (действующего на вектор $x$ в этой записи) и как про матрицу квадратичной или билинейной формы (выраженной формулой $(Ax,x)$ или $(Ax,y)$). Опять же, переход к другим базисам нас при этом не интересовал бы - но при необходимости, конечно, мы могли бы его произвести.

Если бы в правой части стояло что-то вроде $y^TAx$, или просто стояла бы запись $A(x,y)$ и было бы известно, что функционал $A$ линейный по каждому аргументу, тогда мы говорили бы про билинейную форму, и тоже при желании могли бы рассматривать, как матрица преобразуется при замене базиса. Но нам не нужно это рассматривать, чтобы понять, что перед нами за объект.

И даже если мы видим тензор, важно не то, как он преобразуется при замене базиса (и нужны ли нам разные базисы вообще - а то вдруг нам достаточно одного, например стандартного в $\mathbb{R}^n$), а то, является ли он полилинейным функционалом от скольки векторов и от скольки ковекторов.

[drzewo]

Mikhail_K в сообщении #1678706 писал(а):

Если мы видим запись $Ax$, это значит, что матрица $A$ умножается на вектор-столбец $x$, или, что то же самое, линейный оператор $A$ в арифметическом пространстве $\mathbb{R}^n$

Автоматически нет, не значит. Например, в теории малых колебаний лагранжевых систем рассматривается система $G\ddot x+Bx=0$ где $G,B$ -- матрицы билинейных симметрических форм ($G$ -- положительно определена).
Поэтому проверять с каким тензором мы имеем дело необходимо.

[Geen]

Mikhail_K в сообщении #1678706 писал(а):

является ли он полилинейным функционалом от скольки векторов и от скольки ковекторов.

Да, но вот здесь

Mikhail_K в сообщении #1678706 писал(а):

Если мы видим запись $Ax$, это значит, что матрица $A$ умножается на вектор-столбец $x$, или, что то же самое, линейный оператор $A$ в арифметическом пространстве $\mathbb{R}^n$ действует на вектор $x\in\mathbb{R}^n$

Вы неявно отождествили вектора и ковектора...?

[Mikhail_K]

Geen в сообщении #1678708 писал(а):

Вы неявно отождествили вектора и ковектора...?

Почему? Вектор-столбцы - это вектора, вектор-строки - ковектора.

drzewo в сообщении #1678707 писал(а):

Например, в теории малых колебаний лагранжевых систем рассматривается система $G\ddot x+Bx=0$ где $G,B$ -- матрицы билинейных симметрических форм ($G$ -- положительно определена).
Поэтому проверять с каким тензором мы имеем дело необходимо.

Спасибо за пример, стоит подумать над этим.

[Geen]

Mikhail_K в сообщении #1678709 писал(а):

Почему? Вектор-столбцы - это вектора, вектор-строки - ковектора.

А билинейные формы тогда как?

[Mikhail_K]

Geen в сообщении #1678712 писал(а):

А билинейные формы тогда как?

Не очень понял вопрос. Матрицы я склонен отождествлять с линейными операторами, а умножение матрицы на вектор-столбец - с действием линейного оператора на вектор. Понятно, что отождествление возможно, только если базис фиксирован - например, если у нас арифметическое пространство $\mathbb{R}^n$ и в нём естественный базис. Что не мешает рассматривать матрицы оператора в других базисах, конечно.

Билинейные формы я прежде всего склонен воспринимать как выражения вида $(Ax,y)$, где $A$ опять же можно понимать как матрицу или как оператор. При переходе из стандартного базиса в другой (в т.ч. неортонормированный) эта матрица преобразуется как матрица линейного оператора, но, вообще говоря, уже не будет оставаться "матрицей билинейной формы", так как изменится формула для скалярного произведения.

Если скалярного произведения нет, то билинейная форма - это такой объект $A$, что если $x$ и $y$ - векторы, то $Axy$ (или если угодно $A(x,y)$) - число. (Ну и требуется линейность по каждому аргументу, конечно.) И понятно, что это не матрица, потому что для матрицы $A$ выражение $Axy$ не имело бы смысла. Для того чтобы навести тут порядок, $Axy$ надо воспринимать как тензорное умножение (со свёрткой). Матрицы, они же линейные операторы - это тензоры типа (1,1), а билинейные формы имеют тип (2,0), поэтому и умножаются по-другому.

P.S. Понятно, что сказанное тут - это не какая-то "истина", а просто более-менее удобное представление. Понятно, что элемент $\mathbb{R}^n$ - это просто упорядоченный набор из $n$ чисел, и неважно, в строку мы их записываем или в столбец. Понятно, что и линейный оператор, и билинейная форма в каждом базисе характеризуются таблицей чисел $n\times n$, по-разному преобразующейся при переходе от базиса к базису. Но, как ни крути, удобно отождествить векторы с вектор-столбцами, ковекторы с вектор-строками, линейные операторы (но не билинейные формы) с матрицами, а действие оператора на вектор - с умножением матрицы на вектор-столбец. Особенно если работать в одном стандартном базисе.

[Утундрий]

Mikhail_K в сообщении #1678715 писал(а):

Не очень понял вопрос.

$A^i_k$ — оператор, $A_{ik}$ — билинейная форма.

[Mikhail_K]

Утундрий в сообщении #1678717 писал(а):

$A^i_k$ — оператор, $A_{ik}$ — билинейная форма.

Да.

[Утундрий]

Вот. В том и разница.

[Mikhail_K]

Конечно.

[Утундрий]

Ну слава Тензору! Пойду туда, где кто-то неправ.

[drzewo]

Mikhail_K в сообщении #1678715 писал(а):

Для того чтобы навести тут порядок, $Axy$ надо воспринимать как тензорное умножение (со свёрткой).

Вы можете для тупых в координатах объяснить: каким образом Вы собираетесь из оператора $A_i^j$ и двух векторов $x^i,y^k$ получить скаляр т.е. значение билинейной формы на этих векторах?

[Mikhail_K]

drzewo в сообщении #1678722 писал(а):

Вы можете для тупых в координатах объяснить: каким образом Вы собираетесь из оператора $A_i^j$ и двух векторов $x^i,y^k$ получить скаляр т.е. значение билинейной формы на этих векторах?

Ну здесь я собственно и говорю, что билинейная форма - это не линейный оператор. Так что никак не собираюсь (если скалярного произведения нет)

Mikhail_K в сообщении #1678715 писал(а):

Если скалярного произведения нет, то билинейная форма - это такой объект $A$, что если $x$ и $y$ - векторы, то $Axy$ (или если угодно $A(x,y)$) - число. (Ну и требуется линейность по каждому аргументу, конечно.) И понятно, что это не матрица, потому что для матрицы $A$ выражение $Axy$ не имело бы смысла. Для того чтобы навести тут порядок, $Axy$ надо воспринимать как тензорное умножение (со свёрткой). Матрицы, они же линейные операторы - это тензоры типа (1,1), а билинейные формы имеют тип (2,0), поэтому и умножаются по-другому.
<...>
Понятно, что и линейный оператор, и билинейная форма в каждом базисе характеризуются таблицей чисел $n\times n$, по-разному преобразующейся при переходе от базиса к базису. Но, как ни крути, удобно отождествить векторы с вектор-столбцами, ковекторы с вектор-строками, линейные операторы (но не билинейные формы) с матрицами, а действие оператора на вектор - с умножением матрицы на вектор-столбец. Особенно если работать в одном стандартном базисе.

drzewo в сообщении #1678722 писал(а):

Вы можете для тупых в координатах объяснить: каким образом Вы собираетесь из оператора $A_i^j$ и двух векторов $x^i,y^k$ получить скаляр т.е. значение билинейной формы на этих векторах?

А если пространство вещественное евклидово, со скалярным произведением (одним, фиксированным) - то можно и получить. Подействовать оператором на один вектор, затем скалярно умножить на другой. Опускание индекса, называется.

[Geen]

Mikhail_K в сообщении #1678715 писал(а):

И понятно, что это не матрица

Угу, а как мне её тогда записать? Не в абстрактном виде, а конкретными числами?
И как тогда записывать то уравнение, что чуть ранее было приведено?

-- 15.03.2025, 21:30 --

Mikhail_K в сообщении #1678723 писал(а):

Подействовать оператором на один вектор, затем скалярно умножить на другой.

Ага, т.е. билинейные формы это что-то ущербное, что требует дополнительных указаний, в отличие от "самых правильных" линейных операторов?

[Mikhail_K]

Geen в сообщении #1678725 писал(а):

Угу, а как мне её тогда записать? Не в абстрактном виде, а конкретными числами?

Ну какой-нибудь тензор высокой валентности Вы тоже просто так на бумаге не запишете. Тензор ранга $3$ Вы можете представлять себе как трёхмерную таблицу чисел, но в таком представлении всё равно теряется информация о том, какие индексы верхние, а какие нижние. Так и тут.