Неравенство ЕГЭ

[maxmatem]

Необходимо решить неравенство

$$(7^{-x}+2\cdot3^{x})^{-2+\log_{5}{x}+\log_{x}{5}}\leqslant 1$$

Нужна если честно просто идея как школьнику такое на ЕГЭ решить.

Можно конечно тупо написать ОДЗ, попробовать свести к методу рационализации ....

но уже в ОДЗ столкнемся с проблемой. Как пояснить без графика , что уравнение $7^{-x}+2\cdot3^{x}=1$ Не имеет действительных решений.

С радостью выслушаю идею по данному неравенству. Может какие трюки тут можно провернуть ?

[EUgeneUS]

maxmatem в сообщении #1677566 писал(а):

Можно конечно тупо написать ОДЗ,

А можно не тупо.
1. Раз имеется логарифм от икса, то $x>0$
2. Раз $x>0$, то основание степени заведомо больше $1$
3. Раз основание степени заведомо больше $1$, то записываем неравенство на показатель - должен быть меньше или равен нулю.

[drzewo]

видимо надо воспользоваться тем, что
$\log_{5}{x}+\log_{x}{5}\ge 2$ при $x>1$ и $\log_{5}{x}+\log_{x}{5}\le- 2$ при $x\in(0,1)$

[maxmatem]

EUgeneUS

Цитата:

3. Раз основание степени заведомо больше $1$, то записываем неравенство на показатель - должен быть меньше или равен нулю.

Это не очень понял. ...

Цитата:

2. Раз $x>0$, то основание степени заведомо больше $1$

за это спасибо, отличная оценка...)

-- Ср мар 05, 2025 20:12:32 --

drzewo
не совсем понял как мы это применим

[EUgeneUS]

maxmatem в сообщении #1677572 писал(а):

Это не очень понял. ...

Как решается неравенство $x^y < 1$ ?
Если $0 < x < 1$, то $y > 0$
Если $x > 1$, то $y < 0$

[maxmatem]

EUgeneUS
точно ,прошу прощения.

[Drimacus]

maxmatem в сообщении #1677566 писал(а):

Необходимо решить неравенство

$$(7^{-x}+2\cdot3^{x})^{-2+\log_{5}{x}+\log_{x}{5}}\leqslant 1$$

Нужна если честно просто идея как школьнику такое на ЕГЭ решить.

Можно конечно тупо написать ОДЗ, попробовать свести к методу рационализации ....

но уже в ОДЗ столкнемся с проблемой. Как пояснить без графика , что уравнение $7^{-x}+2\cdot3^{x}=1$ Не имеет действительных решений.

С радостью выслушаю идею по данному неравенству. Может какие трюки тут можно провернуть ?

Нужно доказать, что $7^{-x} + 2\cdot 3^x > 1$ всегда. По отдельности разбираем случаи $x\geqslant 0$ и $x\leqslant 0$. В обоих случаях имеем сумму двух положительных слагаемых. В первом случае в нуле функция равна 3, а при $x>0$ строго больше, чем слагаемое с тройкой, которые само строго больше, чем 2, поэтому, не единица. При $x<0$ в нуле функция равна 3, а при всех $x<0$ строго больше, чем слагаемое с семёркой, которое само строго больше единицы.

[EUgeneUS]

maxmatem в сообщении #1677572 писал(а):

не совсем понял как мы это применим

Это уже после того, как записали неравенство на показатель.

Кстати, $\log_x y = \frac{1}{\log_y x}$ (при хороших $x,y$), и сводится к квадратному неравенству (нужно будет рассмотреть два случая, как раз которые написал уважаемый drzewo).

-- 05.03.2025, 19:26 --

Drimacus в сообщении #1677575 писал(а):

При $x<0$ в нуле функция равна 3, а при всех $x<0$ строго больше, чем слагаемое с семёркой, которое само строго больше единицы.

Лишняя работа. $x<0$ не входит в ОДЗ.

[wrest]

maxmatem
Ну там всё примерно сведется к решению
$y/c+c/y \leqslant 2$ где $c$ - константа, а $y=\ln(x)$
Вот и сведите :)

[maxmatem]

EUgeneUS

тогда имеем проблему с этим неравенством...замену не введешь ...в лоб если честно не знаю как решить

$7^{-x}+2\cdot3^{x}>1$

[EUgeneUS]

wrest в сообщении #1677577 писал(а):

$c$ - константа,

... равная единице

[maxmatem]

Цитата:

Это уже после того, как записали неравенство на показатель.

Кстати, $\log_x y = \frac{1}{\log_y x}$ (при хороших $x,y$), и сводится к квадратному неравенству (нужно будет рассмотреть два случая, как раз которые написал уважаемый drzewo).

-- 05.03.2025, 19:26 --

это я понимаю спасибо

[EUgeneUS]

maxmatem в сообщении #1677578 писал(а):

тогда имеем проблему с этим неравенством...замену не введешь ...в лоб если честно не знаю как решить

$7^{-x}+2\cdot3^{x}>1$

никаких проблем не имеем. Для $x > 0$ оно всегда выполняется, потому что

$$7^{-x}+2\cdot3^{x}> 2\cdot3^{x} > 2\cdot3^{0} = 2 > 1$$

[wrest]

EUgeneUS в сообщении #1677579 писал(а):

... равная единице

Ну, чему-нибудь равная. Лично я когда вижу запись $\log_x(y)$ то машинально представляю это как $\dfrac{\ln(y)}{\ln(x)}$

-- 05.03.2025, 19:40 --

maxmatem в сообщении #1677578 писал(а):

замену не введешь ...в лоб если честно не знаю как решить

$7^{-x}+2\cdot3^{x}>1$

Оно выполняется всегда в ОДЗ того изначального выражения что слева от знака неравенства, ну вот это школ ник должен увидеть, да. Выше же расписано.

[maxmatem]

EUgeneUS
Большое всем спасибо. Тема полностью исчерпана.