Комплексные матрицы небольшого размера

[a402539]

Рассмотрим матрицу A+iB с комплексными элементами минимального размера 2х2.
Определитель
Начнем с определителя такой матрицы и его корней.
Пусть $A,B$ - действительная и мнимая части матрицы.
$A=\begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2}\\ a_{2,1} & a_{2,2} \end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix} b_{1,1} & b_{1,2}\\ b_{2,1} & b_{2,2} \end{pmatrix} $
В $R^4$ комплексная матрица выглядит так
$A=\begin{pmatrix} A & -B\\ B & A \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & -b_{1,1} & -b_{1,2}\\ a_{2,1} & a_{2,2} & -b_{2,1} & -b_{2,2}\\ b_{1,1} & b_{1,2} & a_{1,1} & a_{1,2}\\ b_{2,1} & b_{2,2} & a_{2,1} & a_{2,2} \end{pmatrix} $
Проверяется непосредственным вычислением, например, в Maple, что ее определитель равен
$d_{2}= (a_{1,1} \sqrt{a_{2,2}^2+b_{2,2}^2}-((a_{1,2} a_{2,1}-b_{1,2} b_{2,1}) a_{2,2}+(a_{1,2} b_{2,1}+a_{2,1} b_{1,2}) b_{2,2})/(\sqrt{a_{2,2}^2+b_{2,2}^2}))^2+(b_{1,1}\sqrt{a_{2,2}^2 + b_{2,2}^2} - ((a_{1,2}b_{2,1} + a_{2,1}b_{1,2})a_{2,2} + (-a_{1,2}a_{2,1} + b_{1,2}b_{2,1})b_{2,2})/\sqrt{a_{2,2}^2 + b_{2,2}^2})^2 $
Эта формула работает при $a_{2,2}^2+b_{2,2}^2 \ne 0$. Если же $a_{2,2}^2+b_{2,2}^2=0$, то $d_{2}=\left(a_{2,1}^{2}+b_{2,1}^{2}\right) \left(a_{1,2}^{2}+b_{1,2}^{2}\right)$.
Как мы видим, определитель представляет собой сумму двух квадратов. Значит, он обращается в нуль, когда оба слагаемых равны нулю, т.е. при
$a_{1,1} = ((a_{1,2}a_{2,1} - b_{1,2}b_{2,1})a_{2,2} + (a_{1,2}b_{2,1} + a_{2,1}b_{1,2})b_{2,2})/(a_{2,2}^2 + b_{2,2}^2),\\ b_{1,1} = ((a_{1,2}b_{2,1} + a_{2,1}b_{1,2})a_{2,2} + (-a_{1,2}a_{2,1} + b_{1,2}b_{2,1})b_{2,2})/(a_{2,2}^2 + b_{2,2}^2)$
Таким образом, определитель комплексной матрицы 2х2 равен нулю, когда первый ее элемент $a_{1,1}+ib_{1,1}$ указанным выше образом выражается через остальные три элемента. Здесь наблюдается аналогия с вещественным случаем - определитель вещественной матрицы 2х2 $A=\begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2}\\ a_{2,1} & a_{2,2} \end{pmatrix} $ равен нулю, если ее первый элемент $a_{1,1}$ выражается через остальные три элемента формулой $a_{1,1}=a_{1,2}a_{2,1}/a_{2,2}$. Мы видим, что для комплексной матрицы роль знаменателя справа $a_{2,2}$ стало играть выражение $\sqrt{a_{2,2}^2+b_{2,2}^2}$.

[drzewo]

ну и зачем весь этот шлак здесь?

[dgwuqtj]

Такого рода выводы можно делать и без вычислений, просто критерий про обнуление определителя выполняется для всех полей сразу, не только для $\mathbb R$. То есть $\bigl|\begin{smallmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{smallmatrix}\bigr|$ с комплексными коэффициентами обнуляется тогда и только тогда, когда $a_{11} = \frac{a_{12} a_{21}}{a_{22}} = \frac{a_{12} a_{21} \overline{a_{22}}}{a_{22} \overline{a_{22}}}$ (если знаменатель ненулевой). Вы бы ещё аналогичное вычисление для кватернионов проделали...

[drzewo]

Формально говоря, нарушаются правила форума: тема не сформулирована, вопрос не поставлен. Токовать он, очевидно, тут будет пока модератору не надоест.

[vpb]

Да, было бы любопытно узнать, в чем, собственно, цель данного сообщения ?

[Утундрий]

a402539 в сообщении #1677378 писал(а):

$A=\begin{pmatrix} A & -B\\ B & A \end{pmatrix}$

Разные величины одним символом не обозначают.