2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Cистема линейных уравнений в частных производных
Сообщение03.03.2025, 01:58 


23/04/20
28
Здравствуйте. В статье "Killing tensors in spaces of constant curvature", G. Thompson 1984 выводится ограничение на число независимых тензоров Киллинга и там есть такой вот момент:
Дано уравнение

$K_{(i_1...i_n,i_{n+1})} = nK_{l(i_1...i_{n-1}}\Gamma_{i_ni_{n+1})}^l$

для неизвестных функций $K_{i_1...i_n}$ в окрестности какой-то точки на многообразии $M, dim M = m$ (запятая это частная производная, круглые скобки означают сумму по всем перестановкам). Далее мы это уравнение продифференцируем сначала по $x^{j_1}, (1 \leqslant j_1 \leqslant n)$, потом по $x^{j_2}, (1 \leqslant j_1 \leqslant j_2 \leqslant n)$ итд. всего $ n$ раз (в тексте раньше уже доказовалось, что $ n+1$ производная может быть выражена через $ n$ первых производных, поэтому только $ n$ раз). Утверждается, что таким образом мы получим систему $\sum\limits_{r=1}^{n + 1} \binom{m+r-2}{r-1}\binom{m+n}{n+1}$ линейных однородных уравнений для $\sum\limits_{r=0}^{n + 1} \binom{m+r-1}{r}\binom{m+n-1}{n}$ неизвестных функций $K_{i_1...i_n},K_{i_1...i_n,j_{1}}, ..., K_{i_1...i_n,j_1...j_{n+1}} $. И теперь, так как мы полагаем, что функции $K_{(i_1...i_n,i_{n+1})}$ вещественно-аналитические, то пространство решений имеет размерность не больше чем $\sum\limits_{r=0}^{n + 1} \binom{m+r-1}{r}\binom{m+n-1}{n} - \sum\limits_{r=1}^{n + 1} \binom{m+r-2}{r-1}\binom{m+n}{n+1}$. Вот этот последний вывод я как-то не понимаю, если мне кто-нибудь подробнее распишет, как из аналитичности функций следует ограничение на число независимых решений, буду очень благодарен.

 Профиль  
                  
 
 Re: Cистема линейных уравнений в частных производных
Сообщение03.03.2025, 08:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/08
2411
МО
UmnyjDurak в сообщении #1677252 писал(а):
как из аналитичности функций следует ограничение на число независимых решений

Рискну предположить, что автор рассматривает разложение искомых функций в степенной ряд в точке, для чего ему и нужна аналитичность.

 Профиль  
                  
 
 Re: Cистема линейных уравнений в частных производных
Сообщение03.03.2025, 11:55 


23/04/20
28
А, ну да. Раскладываем неизвестные функции в степенной ряд в точке, тогда неизвестными выступают коэффициенты, которые соответствующим производным в точке, следовательно мы можем систему уравнений рассматривать просто как систему линейных алгебраических уравнений и там уже посмотреть, что по размерности. Спасибо, чего-то вчера ночью мне это казалось куда более загадочным.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group