Изоморфизм между циклическими группами

[Dedekind]

Пусть $G$ — абелева группа порядка $mn$, где $m$ и $n$ — взаимно простые числа. Докажите: если в $G$ существует элемент $a$ порядка $m$ и элемент $b$ порядка $n$, то $G \cong \langle a \rangle \times \langle b \rangle$.

В принципе, можно доказать изоморфность из общих соображений, доказав что обе группы циклические и одного порядка. Но я хочу построить изоморфизм в явном виде.

Можно доказать, что группа $G$ - циклическая, с генератором $ab$. Тогда определим $f: G\to \langle a \rangle \times \langle b \rangle$ так, что для любого целого $k$: $f(a^kb^k) = (a^k, b^k)$. Функция определена корректно, так как, поскольку $m$ и $n$ — взаимно простые, то любые степени $a$ и $b$ различны.

Проверим инъективность: если $f(a^kb^k) = f(a^tb^t)$ для каких-то целых $k,t$, то $(a^k, b^k)=(a^t, b^t)$, следовательно, $a^k=a^t$ и $b^k=b^t$, следовательно $a^kb^k=a^tb^t$.

Сохранение операции тоже следует легко.

А вот на сюръективности я застрял. Пусть $(a^k, b^t) \in \langle a \rangle \times \langle b \rangle$ для любых целых $k, t$. Как доказать, что найдется такое целое $q$, что $f(a^qb^q) = (a^k, b^t)$?

[mihaild]

Китайская теорема об остатках.

[Dedekind]

mihaild
Действительно, с КТО получилось, спасибо! Правда, в моем курсе она сама идет глав так через 10, поэтому пока просто использовал без доказательства:)

[RIP]

Сюръективность следует из инъективности, поскольку слева и справа одинаковое (конечное) количество элементов.
(И для исходной задачи ничего этого, конечно, не нужно. Из взаимной простоты $m$ и $n$ следует, что произведение подгрупп $\langle a\rangle$ и $\langle b\rangle$ прямое, поэтому имеет мощность $mn$ и совпадает со всей группой. То есть правильнее писать $G=\langle a\rangle\times\langle b\rangle$.)

[vicvolf]

Dedekind в сообщении #1677209 писал(а):

Действительно, с КТО получилось, спасибо! Правда, в моем курсе она сама идет глав так через 10, поэтому пока просто использовал без доказательства:)

Вместо КТО для решения системы сравнений можно использовать теорему Безу, которая является более элементарным инструментом.

[B@R5uk]

RIP в сообщении #1677413 писал(а):

Из взаимной простоты $m$ и $n$ следует, что произведение подгрупп $\langle a\rangle$ и $\langle b\rangle$ прямое

Прямота произведения с взаимной простотой никак не связаны. Можно легко привести все четыре примера, в которых каждое из этих свойств выполняется или не выполняется.

$$\begin{tabular}{cc|cccc}Прямота&&&\multicolumn{3}{c}{Взаимная простота}\\ произведения&\qquad&\qquad&не выполняется&\qquad&выполняется\\ \hline&&&&&\\ не выполняется&&&\math{\mathrm D_8}&&\math{\mathrm C_7\rtimes\mathrm C_3}\\&&&&&\\ выполняется&&&\math{\mathrm C_2^2}&&\math{\mathrm C_6}\\&&&&&\\ \hline \end{tabular}$$

Только в одном случае это будет группа ранка 1, в остальных — она будет иметь ранк 2.

[RIP]

B@R5uk в сообщении #1677442 писал(а):

Прямота произведения с взаимной простотой никак не связаны.

По условию, группа абелева. Вообще, если $G_1$ и $G_2$ — нормальные подгруппы $G$ (следовательно, $G_1G_2$ — подгруппа $G$) с взаимно простыми порядками, то их произведение прямое (поскольку порядок любого элемента $g\in G_1\cap G_2$ делит $\lvert G_1\rvert$ и $\lvert G_2\rvert$, то есть $G_1\cap G_2=\{e\}$).

[B@R5uk]

RIP, моё утверждение всё ещё в силе. В вашем утверждении прямота произведения следует из двух причин, а не из одной. Впрочем, с главной идеей я согласен: ваше рассуждение бьёт использование теоремы об остатках в пух и прах, что, скорее всего, автор(ы) задачи и хотели увидеть, потому что вопрос в ней никак не связан с её более общей структурой (в том смысле, что это снова будет циклическая группа).

[Dedekind]

RIP в сообщении #1677413 писал(а):

То есть правильнее писать $G=\langle a\rangle\times\langle b\rangle$

Немного не понял, почему так правильно писать? $G$ ведь не является подмножеством $\langle a\rangle\times\langle b\rangle$.
Кроме того, символ $\times$ (по крайней мере, в моей книжке) по определению означает прямое произведение. А какие еще бывают произведения групп? Вы имеете в виду что-то такое?

[B@R5uk]

Dedekind в сообщении #1677451 писал(а):

А какие еще бывают произведения групп?

Самое простой пример — это полупрямое произведение. Группы диэдра и куча других групп имеют несложное внутреннее устройство как полупрямое произведение двух циклических групп. Есть и другие виды композиций.

-- 04.03.2025, 22:49 --

Dedekind в сообщении #1677451 писал(а):

$G$ ведь не является подмножеством $\langle a\rangle\times\langle b\rangle$

Как же не является, когда у вас в условии задачи это просят доказать?

[dgwuqtj]

Dedekind в сообщении #1677451 писал(а):

Немного не понял, почему так правильно писать? $G$ ведь не является подмножеством $\langle a\rangle\times\langle b\rangle$.

Есть два понятия: "внешнее" прямое произведение $X \times Y$, которое декартово произведение с покомпонентным умножением, и "внутреннее" прямое произведение подгрупп $X, Y \leq H$, которое их произведение по Минковскому $X \times Y = X Y$ при условии, что $X$, $Y$ коммутируют и имеют тривиальное пересечение. Эти понятия дают изоморфные группы, первая конструкция универсальная и работает всегда, зато вторая позволяет не покидать объемлющей группы (когда она вообще применима).

В задаче спрашивали, существует ли какой-то изоморфизм с "внешним" прямым произведением. Вы доказываете, что конкретный гомоморфизм $G \to \langle a \rangle \times \langle b \rangle$ является изоморфизмом. Я бы действовал в обратную сторону и проверял, что $\langle a \rangle \times \langle b \rangle \to G, (a^k, b^l) \mapsto a^k b^l$ взаимно однозначно (то есть что $G = \langle a \rangle \times \langle b \rangle$ в смысле "внутреннего" прямого произведения). Это не обратное к вашему отображению, но зато для него не надо отдельно доказывать, что $G$ циклическая и порождается $a b$. Инъективность — это буквально утверждение, что $\langle a \rangle \langle b \rangle$ является "внутренним" произведение, оно почти очевидно. А сюръективность следует из сравнения порядков, как же ещё.

[RIP]

RIP в сообщении #1677443 писал(а):

Вообще, если $G_1$ и $G_2$ — нормальные подгруппы $G$ (следовательно, $G_1G_2$ — подгруппа $G$) с взаимно простыми порядками, то их произведение прямое

Неправду написал (редко общаюсь с неабелевыми группами): для прямого произведения нужно $g_1g_2=g_2g_1$ при $g_i\in G_i$.
В любом случае взаимная простота даёт $G_1\cap G_2=\{e\}$, что равносильно различности всех произведений $g_1g_2$ (тут даже нормальность не нужна). Всё остальное следует из абелевости.

[Dedekind]

B@R5uk в сообщении #1677468 писал(а):

Как же не является, когда у вас в условии задачи это просят доказать?

Так просят же доказать изоморфность, а не равенство. Или мы как-то по-разному понимаем одни и те же символы, или я чего-то не понимаю:) Вот тут опять:

dgwuqtj в сообщении #1677476 писал(а):

$X \times Y = X Y$

Как тут может быть равенство, есть справа стоят элементы из начальной группы $H$, а слева - пары элементов из $H$?

[RIP]

Dedekind в сообщении #1677509 писал(а):

dgwuqtj в сообщении #1677476 писал(а):

$X \times Y = X Y$

Как тут может быть равенство, есть справа стоят элементы из начальной группы $H$, а слева - пары элементов из $H$?

Для «внутреннего» прямого произведения левая часть по определению полагается равной правой. Просто «внешнее» и «внутреннее» произведения обозначаются одинаково (хотя формально это разные вещи), но из контекста обычно понятно, какое из них имеется в виду.

[Dedekind]

RIP в сообщении #1677511 писал(а):

Для «внутреннего» прямого произведения левая часть по определению полагается равной правой. Просто «внешнее» и «внутреннее» произведения обозначаются одинаково (хотя формально это разные вещи), но из контекста обычно понятно, какое из них имеется в виду.

Тогда я окончательно запутался:) Можете, пожалуйста, привести конкретный пример?