Два колеса

[drzewo]

Два однородных диска радиусами $R$ и $r$ и массами $M$ и $m$ соответственно могут катиться без проскальзывания по горизонтальной поверхности. Центры дисков $A$ и $B$ соединены невесомым стержнем в которой вделан девайс (идеальная связь) увеличивающий длину этого стержня по закону $AB=b+vt,\quad b>R-r>0,\quad v>0$.
Известно, что при $t=0$ скорость точки $A$ равна нулю. В какую сторону покатится левый диск при $t>0$? Какова скорость точки $A$ при $t\to\infty$?

[EUgeneUS]

Если пренебречь наклоном $AB$, то скорости колес меняться не будут.

[EUgeneUS]

А если не пренебрегать, то

$|v_A(t \to \infty)| = \frac{mv}{m+M} (\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{c^2}{b^2}}}-1)$

где $c = R-r$
Направлена вправо по рисунку.

-- 27.02.2025, 19:00 --

drzewo в сообщении #1676846 писал(а):

В какую сторону покатится левый диск при $t>0$?

При $t=0+$ ускорение точки $A$ будет направлено вправо.

[drzewo]

EUgeneUS в сообщении #1676876 писал(а):

А если не пренебрегать, то

$|v_A(t \to \infty)| = \frac{m}{m+M} (\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{c^2}{b^2}}}-1)$

где $c = R-r$

с размерностью тут что-то не то

[EUgeneUS]

drzewo в сообщении #1676880 писал(а):

с размерностью тут что-то не то

Размерный множитель $v$ пропустил. Поправил уже.

[drzewo]

как-то так ,да

[EUgeneUS]

Кстати, в задаче сохраняется импульс, несмотря на наличие внешних сил.
Мне пришлось это выводить. Может быть, это как-то сразу понятно?

[Утундрий]

Можно и сразу, если заметить, что в задаче нет внешних сил.

[EUgeneUS]

Утундрий
Не могли пояснить?
А силы трения, которые колеса раскручивают не внешние?

[drzewo]

EUgeneUS в сообщении #1676893 писал(а):

Кстати, в задаче сохраняется импульс, несмотря на наличие внешних сил.
Мне пришлось это выводить. Может быть, это как-то сразу понятно?

Обобщенный импульс сохраняется. Видно из лагранжиана. Проведем горизонтальную ось слева направо. И пусть $x$ -- координата точки $A$, а $y$ -- точки $B$.
Связь:

$$y-x=\sqrt{(b+vt)^2-(R-r)^2}=:f(t)$$

Кин. энергия имеет вид

$$T=\frac{1}{2}\mu_x\dot x^2+\frac{1}{2}\mu_y\dot y^2.$$

С учетом связи

$$L=\frac{1}{2}\mu_x\dot x^2+\frac{1}{2}\mu_y(\dot x+\dot f)^2$$

Лпгранжиан не зависит от $x$, следовательно $\frac{\partial L}{\partial \dot x}$ -- первый интеграл

[EUgeneUS]

drzewo в сообщении #1676906 писал(а):

Обобщенный импульс сохраняется. Видно из лагранжиана.

спасибо.

[Ignatovich]

EUgeneUS в сообщении #1676893 писал(а):

Кстати, в задаче сохраняется импульс, несмотря на наличие внешних сил.

Интересно. Добавлю, что импульс не будет сохраняться, если колеса не являются "подобными" в том смысле что $\frac{I_1}{MR^2}\ne\frac{I_2}{mr^2}$, где в числителях стоят моменты инерции колес.

[EUgeneUS]

Ignatovich в сообщении #1677093 писал(а):

Добавлю, что импульс не будет сохраняться, ....

сохраняется величина $\mu_1 v_1 + \mu_2 v_2$, где $\mu_i = m_i (1+ \frac{J_i}{m_i r_i})$

-- 01.03.2025, 13:39 --

[Ignatovich]

EUgeneUS в сообщении #1677100 писал(а):

сохраняется величина $\mu_1 v_1 + \mu_2 v_2$, где $\mu_i = m_i (1+ \frac{J_i}{m_i r_i})$

Согласен, только опечатку в скобках лучше исправить.

[EUgeneUS]

Ignatovich в сообщении #1677106 писал(а):

только опечатку в скобках лучше исправить.

Не успел