2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Задача на принцип Максимума Понтрягина
Сообщение24.02.2025, 22:27 


09/11/23
7
С помощью принципа максимума Понтрягина требуется решить вот такую задачку:
$\int\limits_{0}^{3}(u^2-1)^2 dt$ $\to \min \\ \dot{y}=u, y(0)=1, y(3)=2$

Решение:
$H(y,u,p)=(u^2-1)^2 + p u, H_y=0\; \Rightarrow \\ \dot{y}=u \\ \dot{p}=0 \\ u = \arg\min\limits_{u}H(y,u,p) \\ y(0)=1, y(3)=2$

Для $\dot{p}=0$ имеем три случая: $p=0, p<0, p>0$
Для $p=0\; u = \arg\min\limits_{u}H(y,u,p) = \left\lbrace -1,1\right\rbrace$
Для $p>0\; u = \arg\min\limits_{u}H(y,u,p) = \operatorname{const}<0$ (с учетом граничных условий не подходит)
Для $p<0\; u = \arg\min\limits_{u}H(y,u,p) = \operatorname{const}>0$

Cлучай $u = \operatorname{const}>0$:
$u = (2-1)/(3-0)=1/3, y(t) = 1 + t/3, \int\limits_{0}^{3}((1/3)^2-1)^2 dt =\frac{64}{27}$

Cлучай $u = \left\lbrace -1,1\right\rbrace$
Тут получается, что имеем бесконечное количество управляющих последовательностей $u \in \left\lbrace -1,1\right\rbrace$, переводящих $y(0)=1$ в $y(3)=2$ и дающих $\int\limits_{0}^{3}(u^2-1)^2 dt=0$

Решение тут как бы очевидно с самого начала без привлечения принципа максимума ($u^2-1=0$). Но мне сперва показалось, что принцип максимума не отлавливает этих оптимальных ломанных решений с наклоном $\pm1$. А потом я присмотрелся повнимательней и увидел, что $p=0$ дает $u \in \left\lbrace -1,1\right\rbrace$

Правильные ли это рассуждения и трактовка случая $p=0$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на принцип Максимума Понтрягина
Сообщение27.02.2025, 14:56 


24/10/24
5
К.Г. Григорьев, И.С. Григорьев, М.П. Заплетин, Практикум по численным методам в задачах оптимального управления. Дополнение I, 2007, стр. 19:
Цитата:
Если же управление $\hat{u}(t)$ из условия оптимальности в) или совсем не определяется, или определяется неоднозначно, то нахождение $\hat{u}(t)$ в таком особом случае может потребовать выходящих за рамки принципа максимума дополнительных исследований. Соответсвующее особому случаю управление $\hat{u}(t)$ называется особым.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group