Задача на принцип Максимума Понтрягина

[Yuri Matveev]

С помощью принципа максимума Понтрягина требуется решить вот такую задачку:
$\int\limits_{0}^{3}(u^2-1)^2 dt$ $\to \min \\ \dot{y}=u, y(0)=1, y(3)=2$

Решение:
$H(y,u,p)=(u^2-1)^2 + p u, H_y=0\; \Rightarrow \\ \dot{y}=u \\ \dot{p}=0 \\ u = \arg\min\limits_{u}H(y,u,p) \\ y(0)=1, y(3)=2$

Для $\dot{p}=0$ имеем три случая: $p=0, p<0, p>0$
Для $p=0\; u = \arg\min\limits_{u}H(y,u,p) = \left\lbrace -1,1\right\rbrace$
Для $p>0\; u = \arg\min\limits_{u}H(y,u,p) = \operatorname{const}<0$ (с учетом граничных условий не подходит)
Для $p<0\; u = \arg\min\limits_{u}H(y,u,p) = \operatorname{const}>0$

Cлучай $u = \operatorname{const}>0$:
$u = (2-1)/(3-0)=1/3, y(t) = 1 + t/3, \int\limits_{0}^{3}((1/3)^2-1)^2 dt =\frac{64}{27}$

Cлучай $u = \left\lbrace -1,1\right\rbrace$
Тут получается, что имеем бесконечное количество управляющих последовательностей $u \in \left\lbrace -1,1\right\rbrace$, переводящих $y(0)=1$ в $y(3)=2$ и дающих $\int\limits_{0}^{3}(u^2-1)^2 dt=0$

Решение тут как бы очевидно с самого начала без привлечения принципа максимума ($u^2-1=0$). Но мне сперва показалось, что принцип максимума не отлавливает этих оптимальных ломанных решений с наклоном $\pm1$. А потом я присмотрелся повнимательней и увидел, что $p=0$ дает $u \in \left\lbrace -1,1\right\rbrace$

Правильные ли это рассуждения и трактовка случая $p=0$?

[Mikhail Volkov]

К.Г. Григорьев, И.С. Григорьев, М.П. Заплетин, Практикум по численным методам в задачах оптимального управления. Дополнение I, 2007, стр. 19:

Цитата:

Если же управление $\hat{u}(t)$ из условия оптимальности в) или совсем не определяется, или определяется неоднозначно, то нахождение $\hat{u}(t)$ в таком особом случае может потребовать выходящих за рамки принципа максимума дополнительных исследований. Соответсвующее особому случаю управление $\hat{u}(t)$ называется особым.