Построение изоморфизма между двумя множествами

[Stranik]

Всем здравствуйте: возник вопрос по Теории множеств, а конкретнее построение различного рода изоморфизмов.

Есть 2 множества:
[1, $\sqrt{2}$] $\cap$ Q и [3, $\sqrt{10}$] $\cap$ Q

Мне нужно построить изоморфизм между ними, если он, конечно, существует


Понятно, что он существует тут, общая идея: выбрать рациональные точки построить ломаную, которая переводит одни рац. числа в другие.
Но тут возникает вопрос, а что делать, когда такой некрасивый отрезок, с иррациональными концами и можно ли для такого отрезка явно предоставить биекцию?

[skobar]

Stranik в сообщении #1676720 писал(а):

Но тут возникает вопрос, а что делать, когда такой некрасивый отрезок, с иррациональными концами и можно ли для такого отрезка явно предоставить биекцию?

С концами важно только чтобы если минимальный (максимальный) элемент есть в первом отрезке, то он должен быть и во втором отрезке. У вас с отрезками все в порядке - минимальный элемент есть и в первом, и во втором отрезке, максимальных элементов нет ни в первом, ни во втором.
Строим изоморфизм, как вы и написали:

Stranik в сообщении #1676720 писал(а):

Понятно, что он существует тут, общая идея: выбрать рациональные точки построить ломаную, которая переводит одни рац. числа в другие.

Возрастающую сходящуюся к правому концу последовательность из рациональных чисел в отрезке можно построить для любого правого конца, хоть рационального, хоть иррационального.

-- 27.02.2025, 02:25 --

PS Я так понимаю, что под изоморфизмом здесь понимается биекция, сохраняющая порядок.

[мат-ламер]

.

[мат-ламер]

Stranik в сообщении #1676720 писал(а):

Понятно, что он существует тут, общая идея: выбрать рациональные точки построить ломаную, которая переводит одни рац. числа в другие.

Нормальная здравая идея.

-- Чт фев 27, 2025 09:01:59 --

Stranik в сообщении #1676720 писал(а):

Но тут возникает вопрос, а что делать, когда такой некрасивый отрезок, с иррациональными концами и можно ли для такого отрезка явно предоставить биекцию?

Вопрос непонятен. Итак, биекцию для рациональных точек отрезков вы уже построили. Эта биекция (точнее формулы этой биекции) применимы и для любых точек отрезков кроме правых крайних, которые можно рассмотреть отдельно.

Или может под словом "явно" вы понимаете - записать биекцию одной простой формулой? А это в задаче и не требуется.

[Stranik]

Да, всем спасибо.
Было аналогично представление.


Да, под словом "явно" я имел ввиду записать биекцию какой-то простой формулой. С рац концами ее сделать легко, а вот с такими уже не получается