2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Цифры факториалов
Сообщение25.02.2025, 03:24 


23/02/23
152
Добрый день,

скажите, пожалуйста, в каком направлении двигаться, чтобы доказать, что во множестве цифр, которые составляют факториалы натуральных чисел, то там будет бесконечное множество всех десятичных цифр. Как доказать, что нулей будет бесконечное множество я понимаю, а вот с остальными - запутался и не могу придумать.

Грубо говоря, факториалы до 11, содержат цифры $2,6,2,4,1,2,0,7,2,0,5,0,4,0,4,0,3,2,0,3,6,2,8,8,0,3,6,2,8,8,0,0,3,9,9,1,6,8,0,0$

Спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Цифры факториалов
Сообщение25.02.2025, 08:25 
Заслуженный участник


12/08/10
1713
Можно рассмотреть первые цифры факториалов следующих за $101000!$ - они не скачут как попало, а либо не меняются, либо растут на 1.

 Профиль  
                  
 
 Re: Цифры факториалов
Сообщение27.02.2025, 03:02 


23/02/23
152
Спасибо огромное Null за совет!!!

Я кажется не так понял условие... Попробую переформулировать:

для каждого факториала найдем младшую не нулевую цифру, то есть например, для $6! = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 = 720$ это будет $2$.

Надо найти все возможные такие цифры (очевидно, что это все четные цифры кроме нуля) и доказать, что они все в последовательности факториалов бесконечно много раз встречаются. Вот как подступиться к такому доказательству - я, каюсь, совсем не могу придумать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Цифры факториалов
Сообщение27.02.2025, 11:19 


23/02/23
152
А, все, вопрос снят. Надо рассмотреть факториал любого числа, который оканчивается на 5, и потом рассмотреть следующие 9 факториалов, там всегда будет хотя бы по одной различной младшей ненулевой цифре.

 Профиль  
                  
 
 Re: Цифры факториалов
Сообщение27.02.2025, 13:27 
Аватара пользователя


26/05/12
1780
приходит весна?
zgemm, не всё так просто. Эти девять факториалов будут включать факториал с нулём в конце. Для такого факториала последняя ненулевая цифра изменится непредсказуемо в вашем подходе (потому что подход не учитывает какие цифры идут перед рассматриваемыми). И множителей от 6 до 9 не хватит, чтобы убедиться, что встречаются все чётные цифры. Умножение на 6 чётную цифру не меняет, а последнее умножение на 7 и на 8 равно умножению на 56, что даёт только одну новую цифру перед умножением на 9.

Лучше начните с факториала, заканчивающегося на 01. В последовательности факториалов будет точно такая же проблема при умножении на 5, но это число можно объединить предыдущим или последующим, после двух этих умножений цифра будет такой же как после умножений на 2 или на 3.

 Профиль  
                  
 
 Re: Цифры факториалов
Сообщение27.02.2025, 19:31 


23/02/23
152
Позвольте, рассказать, B@R5uk, мне кажется, что я все-таки прав.

Смотрите, пусть факториал какого-то числа, который оканчивается на пятерку, содержит первую не нулевую цифру, и такой цифрой может быть любая из списка $2,4,6,8$. Тогда рассмотрим последовательность следующих девяти факториалов, и для каждой мы будем иметь такие цифры:

$$\begin{tabular}{cccccc}
$...5!$ & $...6!$ & $...7!$ & $...8!$ & $...9!$, $...0!$, $...1!$ & $...2!$ \\
2 & 2 & 4 & 2 & 8 & 6 \\
4 & 4 & 8 & 4 & 6 & 2 \\
6 & 6 & 2 & 6 & 4 & 8 \\
8 & 8 & 6 & 8 & 2 & 4 \\
\end{tabular}$$

то есть хоть какая была бы цифра в $...5!$ мы в ближайшие даже семь получим все другие. Я не прав?

 Профиль  
                  
 
 Re: Цифры факториалов
Сообщение27.02.2025, 20:19 
Аватара пользователя


26/05/12
1780
приходит весна?
Будем называть последнюю ненулевую цифру факториала целевой для кратности. Факториал, который оканчивается на ноль добавляет как минимум один ноль после целевой цифры по сравнению с предыдущим факториалом и меняет эту цифру непредсказуемым образом, потому что в вашем рассуждении вы не знаете, какая цифра стоит перед нулём, а именно она меняет значащую цифру при переходе от факториала, заканчивающегося на 9 к факториалу, заканчивающемуся на 0. По этой причине последние два столбца в вашей табличке ошибочны. Для "...9!" ещё правильно, а для остальных — цифры непредсказыуемы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Цифры факториалов
Сообщение27.02.2025, 20:38 


23/02/23
152
B@R5uk в сообщении #1676898 писал(а):
Факториал, который оканчивается на ноль добавляет как минимум один ноль после целевой цифры по сравнению с предыдущим факториалом и меняет эту цифру непредсказуемым образом

не, там очевидно, что будет четная цифра. Ведь вроде очевидно, что $n!$ содержит примерно $n$ множителей двойки, и только $n/4$ множителей пятерки, то есть очевидно, что если выбросить первые несколько (а в них все тоже все классно случайно складывается) то это будет только четная цифра.

Для доказательства достаточно заметить, что каждый второй множитель факториала делится на два, каждый четвертый - на четыре, и так далее, и по аналогии с множителями пятерки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Цифры факториалов
Сообщение27.02.2025, 20:54 
Заслуженный участник


07/08/23
1394
zgemm в сообщении #1676901 писал(а):
содержит примерно $n$ множителей двойки, и только $n/4$ множителей пятерки

Если точнее, то $\lfloor \frac n 2 \rfloor + \lfloor \frac n 4 \rfloor + \lfloor \frac n 8 \rfloor + \ldots$ двоек и $\lfloor \frac n 5 \rfloor + \lfloor \frac n {25} \rfloor + \ldots$ пятёрок. Вторая сумма строго меньше первой при $n \geq 2$, даже первое слагаемое строго меньше.

 Профиль  
                  
 
 Re: Цифры факториалов
Сообщение27.02.2025, 20:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9480
Цюрих
zgemm в сообщении #1676901 писал(а):
не, там очевидно, что будет четная цифра
Но неизвестно какая, потому что имевшаяся умножится на последнюю ненулевую цифру $n$ (которая еще и может оказаться пятеркой). Собственно что далеко ходить $19! = 121645100408832000$ а $20! = 2432902008176640000$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Цифры факториалов
Сообщение27.02.2025, 21:01 
Заслуженный участник


07/08/23
1394
Вообще надо переходить в пятеричную систему счисления, будет попроще.

 Профиль  
                  
 
 Re: Цифры факториалов
Сообщение27.02.2025, 21:42 


23/02/23
152
Тогда надо взять $...05!$, $...06!$, $...07!$, $...08!$, $...09!$, $...10!$, $...11!$, $...12!$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Цифры факториалов
Сообщение27.02.2025, 21:56 
Аватара пользователя


26/05/12
1780
приходит весна?
Теперь совсем другое дело. Вы показали, что раз в 100 факториалов каждая чётная цифра встретится хотя бы раз.

А вообще, интересно, можно ли посчитать какое распределение между 2, 4, 6 и 8 имеет целевая цифра в пределе? Будет ли оно равномерным, или же какие-то цифры будут встречаться чаще, а какие-то реже?

 Профиль  
                  
 
 Re: Цифры факториалов
Сообщение28.02.2025, 13:45 


23/02/23
152
B@R5uk в сообщении #1676909 писал(а):
А вообще, интересно, можно ли посчитать какое распределение между 2, 4, 6 и 8 имеет целевая цифра в пределе? Будет ли оно равномерным, или же какие-то цифры будут встречаться чаще, а какие-то реже?


доказать пока не получилось, но решил до ста тысяч хотя бы посчитать, и, как показывает результат расчетов на картинке внизу, вероятности для каждой такой цифры практически одинаковы. Я специально из-за скалировки убрал регион от нуля до десяти тысяч, где вероятности еще довольно сильно флуктуируют.

Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Цифры факториалов
Сообщение28.02.2025, 22:16 
Заслуженный участник


26/05/14
982
https://oeis.org/A008904

https://mathworld.wolfram.com/Factorial.html :

Цитата:
Let a(n) be the last nonzero digit in n!, then the first few values are 2, 6, 4, 2, 2, 4, 2, 8, 8, 8, 6, 8, ... (OEIS A008904). This sequence was studied by Kakutani (1967), who showed that this sequence is "5-automatic," meaning roughly that there exists a finite automaton which, when given the digits of n in base-5, will wind up in a state for which an output mapping specifies a(n). The exact distribution of digits follows from this result.


https://www.mathpages.com/home/kmath489.htm :
Цитата:
From this we can also rigorously determine the distribution of digits, which the table's symmetry seems to imply must be uniform.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 15 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group