Цифры факториалов

[zgemm]

Добрый день,

скажите, пожалуйста, в каком направлении двигаться, чтобы доказать, что во множестве цифр, которые составляют факториалы натуральных чисел, то там будет бесконечное множество всех десятичных цифр. Как доказать, что нулей будет бесконечное множество я понимаю, а вот с остальными - запутался и не могу придумать.

Грубо говоря, факториалы до 11, содержат цифры $2,6,2,4,1,2,0,7,2,0,5,0,4,0,4,0,3,2,0,3,6,2,8,8,0,3,6,2,8,8,0,0,3,9,9,1,6,8,0,0$

Спасибо!

[Null]

Можно рассмотреть первые цифры факториалов следующих за $101000!$ - они не скачут как попало, а либо не меняются, либо растут на 1.

[zgemm]

Спасибо огромное Null за совет!!!

Я кажется не так понял условие... Попробую переформулировать:

для каждого факториала найдем младшую не нулевую цифру, то есть например, для $6! = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 = 720$ это будет $2$.

Надо найти все возможные такие цифры (очевидно, что это все четные цифры кроме нуля) и доказать, что они все в последовательности факториалов бесконечно много раз встречаются. Вот как подступиться к такому доказательству - я, каюсь, совсем не могу придумать.

[zgemm]

А, все, вопрос снят. Надо рассмотреть факториал любого числа, который оканчивается на 5, и потом рассмотреть следующие 9 факториалов, там всегда будет хотя бы по одной различной младшей ненулевой цифре.

[B@R5uk]

zgemm, не всё так просто. Эти девять факториалов будут включать факториал с нулём в конце. Для такого факториала последняя ненулевая цифра изменится непредсказуемо в вашем подходе (потому что подход не учитывает какие цифры идут перед рассматриваемыми). И множителей от 6 до 9 не хватит, чтобы убедиться, что встречаются все чётные цифры. Умножение на 6 чётную цифру не меняет, а последнее умножение на 7 и на 8 равно умножению на 56, что даёт только одну новую цифру перед умножением на 9.

Лучше начните с факториала, заканчивающегося на 01. В последовательности факториалов будет точно такая же проблема при умножении на 5, но это число можно объединить предыдущим или последующим, после двух этих умножений цифра будет такой же как после умножений на 2 или на 3.

[zgemm]

Позвольте, рассказать, B@R5uk, мне кажется, что я все-таки прав.

Смотрите, пусть факториал какого-то числа, который оканчивается на пятерку, содержит первую не нулевую цифру, и такой цифрой может быть любая из списка $2,4,6,8$. Тогда рассмотрим последовательность следующих девяти факториалов, и для каждой мы будем иметь такие цифры:

$$\begin{tabular}{cccccc} $...5!$ & $...6!$ & $...7!$ & $...8!$ & $...9!$, $...0!$, $...1!$ & $...2!$ \\ 2 & 2 & 4 & 2 & 8 & 6 \\ 4 & 4 & 8 & 4 & 6 & 2 \\ 6 & 6 & 2 & 6 & 4 & 8 \\ 8 & 8 & 6 & 8 & 2 & 4 \\ \end{tabular}$$

то есть хоть какая была бы цифра в $...5!$ мы в ближайшие даже семь получим все другие. Я не прав?

[B@R5uk]

Будем называть последнюю ненулевую цифру факториала целевой для кратности. Факториал, который оканчивается на ноль добавляет как минимум один ноль после целевой цифры по сравнению с предыдущим факториалом и меняет эту цифру непредсказуемым образом, потому что в вашем рассуждении вы не знаете, какая цифра стоит перед нулём, а именно она меняет значащую цифру при переходе от факториала, заканчивающегося на 9 к факториалу, заканчивающемуся на 0. По этой причине последние два столбца в вашей табличке ошибочны. Для "...9!" ещё правильно, а для остальных — цифры непредсказыуемы.

[zgemm]

B@R5uk в сообщении #1676898 писал(а):

Факториал, который оканчивается на ноль добавляет как минимум один ноль после целевой цифры по сравнению с предыдущим факториалом и меняет эту цифру непредсказуемым образом

не, там очевидно, что будет четная цифра. Ведь вроде очевидно, что $n!$ содержит примерно $n$ множителей двойки, и только $n/4$ множителей пятерки, то есть очевидно, что если выбросить первые несколько (а в них все тоже все классно случайно складывается) то это будет только четная цифра.

Для доказательства достаточно заметить, что каждый второй множитель факториала делится на два, каждый четвертый - на четыре, и так далее, и по аналогии с множителями пятерки.

[dgwuqtj]

zgemm в сообщении #1676901 писал(а):

содержит примерно $n$ множителей двойки, и только $n/4$ множителей пятерки

Если точнее, то $\lfloor \frac n 2 \rfloor + \lfloor \frac n 4 \rfloor + \lfloor \frac n 8 \rfloor + \ldots$ двоек и $\lfloor \frac n 5 \rfloor + \lfloor \frac n {25} \rfloor + \ldots$ пятёрок. Вторая сумма строго меньше первой при $n \geq 2$, даже первое слагаемое строго меньше.

[mihaild]

zgemm в сообщении #1676901 писал(а):

не, там очевидно, что будет четная цифра

Но неизвестно какая, потому что имевшаяся умножится на последнюю ненулевую цифру $n$ (которая еще и может оказаться пятеркой). Собственно что далеко ходить $19! = 121645100408832000$ а $20! = 2432902008176640000$.

[dgwuqtj]

Вообще надо переходить в пятеричную систему счисления, будет попроще.

[zgemm]

Тогда надо взять $...05!$, $...06!$, $...07!$, $...08!$, $...09!$, $...10!$, $...11!$, $...12!$.

[B@R5uk]

Теперь совсем другое дело. Вы показали, что раз в 100 факториалов каждая чётная цифра встретится хотя бы раз.

А вообще, интересно, можно ли посчитать какое распределение между 2, 4, 6 и 8 имеет целевая цифра в пределе? Будет ли оно равномерным, или же какие-то цифры будут встречаться чаще, а какие-то реже?

[zgemm]

B@R5uk в сообщении #1676909 писал(а):

А вообще, интересно, можно ли посчитать какое распределение между 2, 4, 6 и 8 имеет целевая цифра в пределе? Будет ли оно равномерным, или же какие-то цифры будут встречаться чаще, а какие-то реже?

доказать пока не получилось, но решил до ста тысяч хотя бы посчитать, и, как показывает результат расчетов на картинке внизу, вероятности для каждой такой цифры практически одинаковы. Я специально из-за скалировки убрал регион от нуля до десяти тысяч, где вероятности еще довольно сильно флуктуируют.

[slavav]

https://oeis.org/A008904

https://mathworld.wolfram.com/Factorial.html :

Цитата:

Let a(n) be the last nonzero digit in n!, then the first few values are 2, 6, 4, 2, 2, 4, 2, 8, 8, 8, 6, 8, ... (OEIS A008904). This sequence was studied by Kakutani (1967), who showed that this sequence is "5-automatic," meaning roughly that there exists a finite automaton which, when given the digits of n in base-5, will wind up in a state for which an output mapping specifies a(n). The exact distribution of digits follows from this result.

https://www.mathpages.com/home/kmath489.htm :

Цитата:

From this we can also rigorously determine the distribution of digits, which the table's symmetry seems to imply must be uniform.