Вопрос про гипотезу Римана

[B@R5uk]

vpb в сообщении #1676087 писал(а):

а первое принадлежит гипотезе Римана.

Немного не в тему, но у меня вопрос. Доказано ли строго, что гипотеза выполняется хотя бы для некоторого количества нетривиальных нулей, например, первой пары, ближайшей к центру комплексной плоскости? Я знаю, что эти нули умеют считать численно. И в вопросе я имею в виду именно теоретическое обоснование, а не то, что результат в пределах погрешности вычислений проходит. Я читал когда-то "Простую одержимость", и там много рассказывается о том, как проблема возникла, о её значении и о характере распределения нулей на их злополучной прямой. Но что-то именно вот этот простой факт мне не вспоминается сейчас.

[vpb]

Доказано, и даже для очень большого числа первых (по порядку возрастания абсолютной величины мнимой части) нулей. Порядка $10^{20}$, но точно не помню.

-- 24.02.2025, 03:53 --

Собственно, это в принципе не так уж и сложно. Дело в том, что нули дзета-функции расположены симметрично относительно действительной оси и относительно прямой $\mathrm{Re}\, s=1/2$ (называемой также "критической прямой"). Поэтому, если какой-то нуль лежит очень близко к критической прямой, то либо он на самом деле таки на критической прямой, либо симметричный ему нуль лежит очень близко. Значит, чтобы доказать, что он на самом деле на критической прямой, достаточно взять некоторый контур, содержащий внутри себя и его, и гипотетический симметричный ему нуль, и найти (численно) приращение аргумента при обходе этого контура. Если это приращение $2\pi$, то значит внутри контура ровно один нуль, значит наш гипотетический нуль совпадает со своим симметричным.

Или еще так можно: если есть некоторый контур, симметричный относительно критической прямой, и приращение аргумента $\mathrm{Arg}\,\zeta(s)$ при обходе по контуру равно $2\pi$, то уж точно нуль, лежащий внутри этого контура --- на критической прямой.

[B@R5uk]

vpb в сообщении #1676172 писал(а):

при обходе по контуру

Спасибо за объяснение. То есть, делается что-то в этом духе (аргумент и результат масштабированы на 2π):

Используется синтаксис Matlab M

clc
clearvars
format compact

r = 1.0;

func1 = @(z) z;
func2 = @(z) z .* (z + 0.9 * i);

xx = 0 : 0.01 : 1;
cc = r * exp (2 * pi * i * xx);
yy1 = unwrap (angle (func1 (cc))) / (2 * pi);
yy2 = unwrap (angle (func2 (cc))) / (2 * pi);
yy3 = unwrap (angle (func1 (cc + 1.1))) / (2 * pi);

plot (xx, yy1, 'r', 'LineWidth', 2)
hold on
plot (xx, yy2, 'b', 'LineWidth', 2)
plot (xx, yy3, 'k', 'LineWidth', 2)
hold off
grid on
legend ('f(z)=z (around z_0=0)', 'f(z)=z(z+0.9i) (around z_0=0)', 'f(z)=z (around z_0=1.1)', 'Location', 'NorthWest')
title ('Function argument on R=1 circle contour')
 

При обходе контура делаем малые шашки, убеждаемся, что аргумент функции при этом изменяется тоже мало. Если происходит (в силу вычислительной природы действий) скачок, близкий к 2π, то поправляем его. Если же если же функция просто изменяется слишком резко, то дробим шаг на контуре до победного. Либо убеждаемся, что выбранный контур проходит через точку интереса.

Подобная проверка (на мой взгляд) кажется гениальной, но это больше же численный результат, нежели теоретический. Здорово, конечно, что последовательным вычислением близких значений функции можно убедится в верности или ложности какого-то утверждения о свойствах этой функции, но я в каком-то смысле разочарован. Неужели нет какого-то другого доказательства? Или же дело в том, что сами методы ТФКП на столько хороши и конструктивны, то нет концептуальной разницы между теорией и численным вычислением?

[B@R5uk]

Решил копнуть вики на тему как считать функцию Римана в критической полосе, нашёл одну жесть. Ряда с экспоненциальной сходимостью не видать.

[vpb]

B@R5uk в сообщении #1676183 писал(а):

То есть, делается что-то в этом духе (

Ну, да.

B@R5uk в сообщении #1676183 писал(а):

Неужели нет какого-то другого доказательства?

Без понятия. Я, в общем, написал первое, что на ум пришло. Но я, правда, знал (в молодости немного интересовался), что у дзета-функции нули симметрично расположены.