Унитарная матрица перехода от x- к p-представлению

[Ascold]

Требуется найти эту непрерывную матрицу. Что-то я в замешательстве.
Пусть $\psi_n(x)$ - какой-нибудь набор базисных ортонормированных функций в координатном представлении.
Тогда из фурье-разложения $\psi_n(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\int\varphi_n(p)e^{\frac{ipx}{\hbar}}dp$ следует, что матрица перехода между представлениями $U_{pn}=\varphi_n(p),$ поскольку $e^{\frac{ipx}{\hbar}}$ - это собственная функция оператора импульса или я чего-то не понимаю?

[pppppppo_98]

ну таки да.... Между любыми двумя ортнормированными базисами любого гильбертового пространства , существует унитарная преобразование переводящее одни базис в другой... Для базисов $|x\rangle$ и $|p\rangle$, таковым и будет преобразование фурье..

[Ascold]

а как здесь усмотреть унитарность? Вот обратное преобразование $\varphi_n(p)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\int\psi_n(x)e^{\frac{-ipx}{\hbar}}dx$ и... что-то не могу развидеть, что обратная "матрица" равна эрмитово сопряжённой к исходной.

[Cos(x-pi/2)]

Ascold
Чтобы увидеть аналогию с матрицами, можно начать с игрушечной абстрактной записи, в которой $p$ и $x$ будут дискретными индексами, принимающими какое-нибудь конечное число $N$ значений. Разложение произвольного N-мерного вектора $|\psi\rangle$ по ортонормированному базису $|p\rangle$

$$|\psi\rangle=\sum_p |p\rangle\,\langle p|\psi\rangle$$

скалярно умножим на орты $|x\rangle$ другого ортонормированного базиса. Получается:

$$\langle x|\psi\rangle=\sum_p \langle x|p\rangle\,\langle p|\psi\rangle$$

В левой стороне этого равенства имеем числовые компоненты $\psi_x=\langle x|\psi\rangle$ вектора $|\psi\rangle$ в x-базисе. В правой стороне под знаком суммы имеются компоненты $\varphi_p=\langle p|\psi\rangle$ того же вектора в p-базисе. Числа $U_{xp}=\langle x|p\rangle$ служат элементами матрицы $U$ преобразования от одного ортонормированного базиса к другому ортонормированному базису. То есть:

$$\psi_x=\sum_p U_{xp}\,\varphi_p$$

Для элементов такого равенства функциональными аналогами в фурье-разложении волновой функции по плоским волнам являются: волновая функция $\psi(x)$ вместо $\psi_x,$ коэффициентная функция $\varphi(p)$ вместо $\varphi_p,$ плоская волна $Ce^{\frac{ipx}{\hbar}}$ вместо $U_{xp},$ где $C=\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}},$ и при этом ведётся интегрирование по непрерывной переменной $p$ вместо суммирования по индексу $p:$

$$\psi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}e^{\frac{ipx}{\hbar}}\,\varphi(p)\,dp $$

В дискретной записи преобразование, обратное к рассмотренному, есть

$$\langle p|\psi\rangle=\sum_x \langle p|x\rangle\,\langle x|\psi\rangle,\qquad \text{то есть}\qquad\varphi_p=\sum_x (U^{-1})_{px}\psi_x $$

Видно, что $(U^{-1})_{px}=\langle p|x\rangle.$ А так как $\langle p|x\rangle = (\langle x|p\rangle)^*,$ то выполняется равенство

$$(U^{-1})_{px}=U_{xp}^*,\qquad \text{то есть}\qquad U^{-1}=U^+.$$

Функциональным аналогом для величины $(U^{-1})_{px}=U_{xp}^*$ является функция $(Ce^{\frac{ipx}{\hbar}})^*=C^*e^{-\frac{ipx}{\hbar}}.$ Она и присутствует в формуле для коэффициентов преобразования Фурье:

$$\varphi(p)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\int \limits_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{ipx}{\hbar}}\psi(x)\,dx$$

Из унитарности матрицы $U$ следует, что $U^+U=1.$ Это единичная матрица, т.е.:

$$\sum_x U_{xp'}^*\,U_{xp}=\delta_{p'p}$$

В функциональном аналоге этого равенства будет интеграл по $x$ от $\left( Ce^{\frac{ip'x}{\hbar}}\right)^{*} Ce^{\frac{ipx}{\hbar}},$ и можно ожидать, что вместо символа Кронекера $\delta_{p'p}$ этот интеграл будет равен дельта-функции Дирака $\delta(p-p')$ в соответствии с ортогональностью и нормировкой плоских волн на дельта-функцию от импульса. В силу одного из известных представлений дельта-функции, имеющего вид равенства

$$\int\limits_{-\infty}^{\infty}dx\,e^{iqx}=2\pi\,\delta(q)\,,$$

так и получается:

$$\int\limits_{-\infty}^{\infty}dx\left( Ce^{\frac{ip'x}{\hbar}}\right)^* Ce^{\frac{ipx}{\hbar}} = |C|^2\hbar\,2\pi\, \delta(p-p') = \delta(p-p').$$

[Cos(x-pi/2)]

Ascold в сообщении #1676057 писал(а):

матрица перехода между представлениями $U_{pn}=\varphi_n(p)$

Такое определение матрицы перехода тоже возможно, но в другом контексте - не в переходе от x- к p-представлению, а в переходе от n-представления к p-представлению.

Например, пусть $|n\rangle$ (где $n=0,\,1,\,2,\,...)$ это полный ортонормированный набор стационарных состояний гармонического осциллятора. Известно, что волновые функции этих состояний $\psi_n(x)$ быстро убывают на бесконечности. Непрерывного спектра в таком примере нет, так что эти функции образуют базис ("энергетического представления", кратко называем его n-представлением), по которому можно разложить состояние $|\psi\rangle$ любое при условии, что его волновая функция $\psi(x)$ тоже должным образом убывает при $x\to \pm\infty.$ Обозначим коэффициенты разложения как $A_n,$ т.е.

$$A_n=\langle n|\psi\rangle=\int\limits_{-\infty}^{\infty}dx\,\,\psi_n(x)^*\, \psi(x)$$

Тогда разложение запишется в виде

$$|\psi\rangle=\sum_n |n\rangle A_n\qquad (1)$$

Можно разложить то же состояние $|\psi\rangle$ и по плоским волнам, т.е. по состояниям $|p\rangle.$ Умножив (1) скалярно на $|p\rangle,$ имеем коэффициенты $\varphi(p)$ такого разложения в виде

$$\langle p|\psi \rangle=\sum_n \langle p|n\rangle A_n$$

То есть

$$\varphi(p)=\sum_n U_{pn}\,A_n \qquad (2)$$

где:

$$\varphi(p)=\langle p|\psi\rangle = \int\limits_{-\infty}^{\infty}dx\,\,C^*e^{-\frac{ipx}{\hbar}}\,\psi(x) $$

$$U_{pn}=\langle p|n\rangle=\int\limits_{-\infty}^{\infty}dx\,\,C^*e^{-\frac{ipx}{\hbar}}\,\psi_n(x)=\varphi_n(p)$$

Чтобы получить выражение для $A_n$ через $\varphi(p)$ (обратное к (2)), запишем разложение состояния $|\psi\rangle $ по базису $|p\rangle.$ Если интеграл по $p$ от $-\infty$ до $+\infty $ обозначать символически знаком суммы, то такое разложение запишется в виде

$$|\psi\rangle=\sum_p |p\rangle\,\varphi(p)\qquad (3)$$

Умножив (3) скалярно на $|n\rangle,$ имеем для коэффициентов $A_n=\langle n|\psi\rangle $ выражение

$$A_n=\sum_p \,(U^{-1})_{np}\,\,\varphi(p)\,,$$

где

$$(U^{-1})_{np}=\langle n|p\rangle = \int\limits_{-\infty}^{\infty}dx\,\,\psi_n(x)^*\, Ce^{\frac{ipx}{\hbar}}=\varphi_n(p)^*$$

Посмотрим, как при таком определении $U^{-1}$ выполняется равенство $ U^{-1}U=1:$

$$(U^{-1}U)_{n'n}=\sum_p \,\langle n'|p\rangle\,\langle p|n\rangle = $$

$$=\int\limits_{-\infty}^{\infty}dp\,\int\limits_{-\infty}^{\infty}dx'\,\psi_{n'}(x')^*\,Ce^{\frac{ipx'}{\hbar}} \int\limits_{-\infty}^{\infty}dx\,C^*e^{-\frac{ipx}{\hbar}}\, \psi_n(x)$$

Интегрируя сначала по $p,$ замечаем, что получается дельта-функция с аргументом $x'-x:$

$$|C|^2 \int\limits_{-\infty}^{\infty}dp\,e^{\frac{ip(x'-x)}{\hbar}}=\delta(x'-x)$$

Она снимает одно из интегрирований по $x'$ и $x.$ Остаётся равенство

$$(U^{-1}U)_{n'n}=\int\limits_{-\infty}^{\infty}dx\,\,\psi_{n'}(x)^*\,\psi_n(x)=\langle n'|n \rangle = \delta_{n'n}$$

Искомый ответ, т.е. $\delta_{n'n}\,,$ здесь следует из условия ортонормировки состояний $|n\rangle.$

[Ascold]

Cos(x-pi/2)
Благодарю за подробные ответы, теперь ясно.