независимые и зависимые события

[jas]

Задача 1. Игральную кость подбрасывают один раз. Известно, что выпало более трех очков. Какова вероятность того, что выпало четное число очков?
Решение. Пусть
$A=\{\text{выпало более трех очков}\}=\{4,5,6\},$
$B=\{\text{выпало четное число очков}\}=\{2,4,6\},$
$A\cdot B =\{4,6\},$
$P(A)=\frac{3}{6},$
$P(B)=\frac{3}{6},$
$P(A\cdot B)=\frac{2}{6},$
$P\left(B|A\right)=\frac{P\left(A\cdot B\right)}{P\left(A\right)}=\frac{\frac{2}{6}}{\frac{3}{6}}=\frac{2}{3}.$

Задача 2. Игральную кость подбрасывают один раз. Известно, что выпало более двух очков. Какова вероятность того, что выпало четное число очков?
Решение. Пусть
$A=\{\text{выпало более трех очков}\}=\{3,4,5,6\},$
$B=\{\text{выпало четное число очков}\}=\{2,4,6\},$
$A\cdot B =\{4,6\},$
$P(A)=\frac{4}{6},$
$P(B)=\frac{3}{6},$
$P(A\cdot B)=\frac{2}{6},$
$P\left(B|A\right)=\frac{P\left(A\cdot B\right)}{P\left(A\right)}=\frac{\frac{2}{6}}{\frac{4}{6}}=\frac{2}{4}.$

В данных задачах события $A$ и $B$ - совместные.
Но в первой задаче
$P(A)P(B)=\frac{3}{6}\cdot \frac{3}{6}\neq\frac{2}{6}=P(A\cdot B),$
а во второй
$P(A)P(B)=\frac{4}{6}\cdot \frac{3}{6}=\frac{2}{6}=P(A\cdot B).$

Не совсем понятно, почему в первой задаче события $A$ и $B$ зависимые, а во второй - независимые?

[mihaild]

А что Вас удивляет? Бывают зависимые события, бываю независимые.

[ShMaxG]

jas
Зависимость и независимость событий определяется не тем, что за события, а вероятностной мерой на этом пространстве. В ваших примерах события одни и те же, но вероятностная мера разная. В первом случае выбор меры приводит к зависимым событиям, а во втором -- к независимым. Для понятия "стохастическая независимость событий" это нормально.

[mihaild]

ShMaxG в сообщении #1675952 писал(а):

В ваших примерах события одни и те же, но вероятностная мера разная

События разные, мера одна, вот тут

jas в сообщении #1675945 писал(а):

$A=\{\text{выпало более трех очков}\}=\{3,4,5,6\},$

, думаю, опечатка в тексте.

[Евгений Машеров]

Примитивнейший ответ:
Потому, что в первом случае при наступлении события А имеется два чётных и один нечётный вариант, а во втором случае два чётных и два нечётных. То есть в первос случае знание о том, что выпало более трёх очков несёт информацию, позволяя, например, поставить на чётное и в двух случаях из трёх выиграть, а во втором знание, что выпало более двух очков - неинформативно.

[jas]

Спасибо большое за ответы.
Во второй задаче опечатка
$A=\{\text{выпало более двух очков}\}=\{3,4,5,6\}.$

Еще даны две задачи

Задача 3. Игральную кость подбрасывают один раз. Известно, что выпало нечетное число очков. Какова вероятность того, что выпало четное число очков?
Решение. Пусть
$A=\{\text{выпало нечетное число очков}\}=\{1,3,5\},$
$B=\{\text{выпало четное число очков}\}=\{2,4,6\},$
$A\cdot B =\varnothing,$
$P(A)=\frac{3}{6},$
$P(B)=\frac{3}{6},$
$P(A\cdot B)=0,$
$P\left(B|A\right)=\frac{P\left(A\cdot B\right)}{P\left(A\right)}=\frac{0}{\frac{3}{6}}=0.$

Задача 4. Игральную кость подбрасывают один раз. Известно, что выпало нечетное число очков. Какова вероятность того, что выпало семь очков?
Решение. Пусть
$A=\{\text{выпало нечетное число очков}\}=\{1,3,5\},$
$B=\{\text{выпало семь очков}\}=\{7\},$
$A\cdot B =\varnothing,$
$P(A)=\frac{3}{6},$
$P(B)=0,$
$P(A\cdot B)=0,$
$P\left(B|A\right)=\frac{P\left(A\cdot B\right)}{P\left(A\right)}=\frac{0}{\frac{3}{6}}=0.$

В данных задачах события $A$ и $B$ - несовместные.
Но в первой задаче
$P(A)P(B)=\frac{3}{6}\cdot \frac{3}{6}\neq0=P(A\cdot B),$
а во второй
$P(A)P(B)=\frac{3}{6}\cdot 0=0=P(A\cdot B).$

Т.е., в первой задаче события $A$ и $B$ зависимые, а во второй - независимые?

[Null]

Да.

[B@R5uk]

jas. В ваших задачах события A и B, а так же их обратные делят всё вероятностное пространство на четыре взаимно не пересекающиеся части:

$$\begin{tabular}{l|сссссссс}\text{Вес события}&\math{A}&\overline{A}&\math{B}&\overline{B}&\math{AB}&\math{A}\overline{B}&\overline{A}\math{B}&\overline{A}\cdot\overline{B}\\ \hline\text{Задача 1}&3&3&3&3&2&1&1&2\\ \text{Задача 2}&4&2&3&3&2&2&1&1\end{tabular}$$

При этом условие на взаимную независимость событий

$$P\bigl(A\bigr)P\bigl(B\bigr)=P\bigl(AB\bigr)$$

совместно со стандартными вероятностными соотношениями:

$$\begin{array}{rcr} P\bigl(A\bigr)+P\bigl(\overline{A}\bigr)=1&\quad&P\bigl(AB\bigr)+P\bigl(\overline{A}B\bigr)=P\bigl(B\bigr)\\ P\bigl(B\bigr)+P\bigl(\overline{B}\bigr)=1&&P\bigl(AB\bigr)+P\bigl(A\overline{B}\bigr)=P\bigl(A\bigr)\\ P\bigl(A\bigr)+P\bigl(B\bigr)-P\bigl(AB\bigr)+P\bigl(\overline{A}\cdot\overline{B}\bigr)=1&&\end{array}$$

приводит к вполне конкретным пропорциям между этими четырьмя частями:

$$\frac{P\bigl(AB\bigr)}{P\bigl(\overline{A}B\bigr)}=\frac{P\bigl(A\bigr)}{P\bigl(\overline{A}\bigr)}=\frac{P\bigl(A\overline{B}\bigr)}{P\bigl(\overline{A}\cdot\overline{B}\bigr)}\qquad\qquad\frac{P\bigl(AB\bigr)}{P\bigl(A\overline{B}\bigr)}=\frac{P\bigl(B\bigr)}{P\bigl(\overline{B}\bigr)}=\frac{P\bigl(\overline{A}B\bigr)}{P\bigl(\overline{A}\cdot\overline{B}\bigr)}$$

В первой задаче события A и B, их обратные, а так же их пересечения делят вероятностное пространство диспропорционально. Во второй же задаче пропорции выполняются. Это иллюстрируется на рисунке ниже (задача 1 — слева, задача 2 — справа):

Ситуация с третьей и четвёртой задачами абсолютно аналогичная, за техническим исключением того, что случаи вырождены, и пропорцию можно записать только, если ноль в числителе.