Школьная задача по работе идеального газа

[Inquirer]

Здравствуйте! Разбирая со школьником недавний статградовский вариант ЕГЭ по физике, столкнулся с некоторым противоречием (вероятно, кажущимся).
Условие простое: "С одним молем идеального одноатомного газа проводят циклический процесс 1–2–3–4, изображённый на $pV$ диаграмме. КПД теплового двигателя, работающего по данному циклу, равен $\eta = 40\%$. В состоянии 1 газ находится при нормальных условиях (давление $p_1 = 10^5$ Па, температура $T = 0^\circ \text{C}$). В состоянии 3 давление $p_3 = 3p_1$, а объём $V_3 = 3V_1$. Найдите, какое количество теплоты $Q_{\text{нагр}}$ получает газ за один цикл работы двигателя. $pV$-диаграмма представляет собой прямоугольник, обходимый из нижнего левого угла по часовой стрелке.
Официальное решение простое - считаем работу как площадь цикла, получаем $4p_1V_1$, а дальше делим на КПД и получаем теплоту нагревателя за цикл.
Однако если руками обсчитать по первому началу термодинамики каждый из процессов, получается $Q_{\text{хол}} = 14p_1V_1$, а $Q_{\text{нагр}} = 18p_1V_1$. Отсюда КПД чуть выше 20%, что явно противоречит 40% в условии задачи. Чем можно объяснить такое противоречие?

[pppppppo_98]

А рисунок приводит будем или вы считаете что здесь не только лишь все(с) владеют экстрасенсорными способностями... А где у вас кавычка условия заканчивается и начинается ваши рассуждения

[sergey zhukov]

Inquirer
Дан цикл и сказано, что его тепловой КПД 40%, а на самом деле, если подсчитать, его тепловой КПД 20%? По моему, такое очень даже может быть (в смысле составитель задачи считал, что форму цикла и его тепловой КПД можно задавать независимо). Почему составитель решил дать еще и КПД цикла отдельно, когда один вид цикла все уже содержит - это не понятно.

[rascas]

А что надо поменять в условии чтобы задача стала более менее корректной?

Моё предложение:
Не указывать что газ одноатомный. И задавать КПД не такой большой.

[Inquirer]

sergey zhukov в сообщении #1675501 писал(а):

По моему, такое очень даже может быть (в смысле составитель задачи считал, что форму цикла и его тепловой КПД можно задавать независимо). Почему составитель решил дать еще и КПД цикла отдельно, когда один вид цикла все уже содержит - это не понятно.

Спасибо, это обнадёживает! До сих пор ни разу не сталкивался с некорректной постановкой задачи в каких-либо серьёзных вариантах экзамена, поэтому и забеспокоился, вдруг что-то настолько базовое не понимаю.

-- 19.02.2025, 10:59 --

rascas в сообщении #1675504 писал(а):

А что надо поменять в условии чтобы задача стала более менее корректной?

Моё предложение:
Не указывать что газ одноатомный. И задавать КПД не такой большой.

Полностью поддерживаю.
Но здесь тогда ещё спрошу сразу на всякий случай. Правильно я понимаю, что для многоатомного газа при той же работе изменение внутренней энергии потребует большего количества теплоты, и КПД дополнительно снизится по сравнению с идеальным газом?

-- 19.02.2025, 11:01 --

pppppppo_98 в сообщении #1675498 писал(а):

А рисунок приводит будем или вы считаете что здесь не только лишь все(с) владеют экстрасенсорными способностями... А где у вас кавычка условия заканчивается и начинается ваши рассуждения

Виноват, кавычку действительно забыл закрыть. Рисунок не привёл, потому что цикл простой, мне казалось, я однозначно описал его словами. Если нужно, могу привести, но вопрос, похоже, закрыт.

[sergey zhukov]

Inquirer
От атомности газа зависит показатель адиабаты, который входит в выражения для расчета работы процесса. Поэтому КПД цикла тоже зависит от этого показателя.

[DimaM]

Inquirer в сообщении #1675512 писал(а):

Правильно я понимаю, что для многоатомного газа при той же работе изменение внутренней энергии потребует большего количества теплоты, и КПД дополнительно снизится по сравнению с идеальным газом?

Правильно.

[Inquirer]

Спасибо всем ответившим, разобрался.

[sergey zhukov]

Inquirer в сообщении #1675512 писал(а):

по сравнению с идеальным газом?

Многоатомный газ тоже идеальный. Его уравнение состояния то же самое, что и у одноатомного идеального газа.

При увеличении атомности теплоемкость газа (и его внутренняя энергия при фиксированной температуре) стремится к бесконечности, показатель адиабаты стремится к $1$, т.к. все бОльшая и бОльшая доля внутренней энергии приходится не на поступательное движение частиц, а на их внутренние колебания. В пределе температуру такого газа вообще ничем нельзя изменить, процессы с ним стремятся к изотермическим. Понятно, что этот предел - абстракция еще та.

В итоге, чтобы проделать с многоатомным газом заданный $PV$ цикл с фиксированной работой (в ходе которого требуется охлаждать/нагревать этот газ так же до фиксированных температур), нужно "пропустить" через него больше тепла, чем для одноатомного газа. В пределе бесконечно больше.

[Theoristos]

Процесс из двух изобар и двух изохор.
И там и там температура гуляет в больших приделах, и что считать "температурой нагревателя", и что "температурой холодильника" - ещё тот вопрос.
Единственное что точно - для первых двух отрезков требуется приход теплоты, для второй пары - отвод.

Если считать, что тепло приходит только от некого "нагревателя" с подстраиваемой температурой, без доп. генерации энтропии, а уходит - только в некий "охладитель" с переменной температурой - ответ будет в точности как у автора вопроса.
При этом размах изменения температур что "нагревателя", что "холодильника" один и тот же - от $T_0$ до $9T_0$.

Если постановить, что в третьем отрезке тепло возвращается обратно в нагреватель - там "КПД" и 4/9=44.4% можно получить.
Осталось найти точку переключения отдачи с "нагревателя" на "холодильник" на третьем отрезке, чтоб получить круглые 40%

Муть с тяжким привкусом олимпиадного маразма.

[sergey zhukov]

Theoristos
Муть - это когда для заданного цикла и заданного рабочего тела можно получить что угодно в зависимости от каких-то температур нагревателя и холодильника, которые тут вообще не нужны.