Задача из "Механики" Зоммерфельда

[ESN]

Добрый день, уважаемые участники форума.
Вот такая задача:


Вот такое решение:

Мне кажется, второй дифур неверен. Нужно, вроде,

$$m\frac{dv}{dt}-\mu a=-mg$$

или

$$\frac{d}{dt}(mv)-\mu (a-v)=-mg.$$

Кроме того, непонятно, откуда выражение для скорости. Там же логарифм должен быть

$$v=a\ln{\frac{m_0}{m_0-\mu t}}-gt,$$

а тут все рациональное...
Самое интересное, что выражение для координаты получилось именно такое. Соответственно, и численные ответы совпадают.
В таком виде это решение приведено и в издании 1947 года, и в издании 2001 года.

Кто тут прав?
Буду благодарен за ответ!

-- 20.02.2025, 23:07 --

И (2) должно быть, вроде:

$$\left(\frac{\mu a}{m_0}-\frac{g}2\right)t^2,$$

а не то, что в книге

[drzewo]

ESN в сообщении #1675745 писал(а):

и

$$\frac{d}{dt}(mv)-\mu (a-v)=-mg.$$

я бы написал также

[Утундрий]

Цитата:

Если $\mu =\dfrac {1}{ 100}$ начальной массы $m_0$

А тут ещё и размерности не совпадают.

[sergey zhukov]

ESN в сообщении #1675745 писал(а):

$$\frac{d}{dt}(mv)-\mu (a-v)=-mg.$$

Силы, действующие на ракету, постоянны. Сила реакции от выхлопных газов равна именно $\mu a$, и она постоянна. По моему, в первоначальном решении второе уравнение (изменение импульса равно сумме двух постоянных сил) записано совершенно правильно.

У вас же получится, что при $a=u$ тяги нет, но это же ерунда.

[lel0lel]

sergey zhukov в сообщении #1675782 писал(а):

У вас же получится, что при $a=u$ тяги нет, но это же ерунда.

Нужно смотреть на изменение скорости, а оно положительное из-за уменьшения массы ракеты.
В дифференциалах изменение импульса системы:
$(m+dm)(v+dv)-dm(v-a)-mv=-mgdt$
так как $dm=-\mu dt$, то
$m\frac{dv}{dt}=\mu a-mg$, это соответствует

ESN в сообщении #1675745 писал(а):

$$\frac{d}{dt}(mv)-\mu (a-v)=-mg.$$

[drzewo]

Полезно иметь общие теоремы перед глазами
Ссылка на файл pdf

[ESN]

drzewo в сообщении #1675809 писал(а):

Полезно иметь общие теоремы перед глазами

Aга, благодарю!

sergey zhukov в сообщении #1675782 писал(а):

ESN в сообщении #1675745 писал(а):

$$\frac{d}{dt}(mv)-\mu (a-v)=-mg.$$

Силы, действующие на ракету, постоянны. Сила реакции от выхлопных газов равна именно $\mu a$, и она постоянна. По моему, в первоначальном решении второе уравнение (изменение импульса равно сумме двух постоянных сил) записано совершенно правильно.

У вас же получится, что при $a=u$ тяги нет, но это же ерунда.

$$\mu a$$

- сила тяги в ускоренно движущейся системе отсчёта, связанной с ракетой.

$$\mu (a-v)$$

- в СО "Земля".
Надо сказать, что именно так велит считать и сам Зоммерфельд в соответствующем месте учебника:



(Относительная скорость обозначена $q$.)

[EUgeneUS]

В этой задаче есть ещё один подвох, который выше в попытках решения не учитывапется.
Отдельно нужно проверить, когда ракета оторвется от стартового стола: в начальный момент, или позже.

[sergey zhukov]

lel0lel
Действительно, что-то я поторопился. Если рассмотреть полет ракеты в невесомости, у которой относительная скорость выхлопных газов $ a$ всегда равна скорости ее полета $u$, то всегда $(u-a)=0$, причем импульс такой ракеты как раз и не меняется, хотя она ускоряется. Импульс всей этой системы до последнего сосредоточен в ракете, пока она не достигнет бесконечной скорости. Все правильно.

-- 21.02.2025, 15:31 --

EUgeneUS
Это конечно решение для ракеты, которая стартует не с поверхности, а просто с состояния свободного падения. Тут и $z<0$ имеет смысл. Можно условие поставить, что ракета изначально подвешена, тогда решение в некоторых случаях будет другим (будет отсчитываться от точки минимума первоначального решения).

[ESN]

EUgeneUS в сообщении #1675815 писал(а):

В этой задаче есть ещё один подвох, который выше в попытках решения не учитывапется.
Отдельно нужно проверить, когда ракета оторвется от стартового стола: в начальный момент, или позже.

Я так понимаю, что если тянуть груз
массой m за веревку с силой 2mg, например, он сразу оторвется от опоры. Нет?
(веревка нерастяжимая)

[sergey zhukov]

ESN
Если график решения нарисовать, то можно подобрать параметры, когда ракета сначала падает, а потом взлетает. Т.е. при данных задачи этого не происходит, но это же сразу неизвестно.

[drzewo]

EUgeneUS в сообщении #1675815 писал(а):

В этой задаче есть ещё один подвох, который выше в попытках решения не учитывапется.
Отдельно нужно проверить, когда ракета оторвется от стартового стола: в начальный момент, или позже.

Опять начинается срывание покровов. Этот <<подвох>> не учитывается не только в <<выше в попытках решения>>, но и еще в куче книг, в которых эта классическая задача рассматривается. У Маркеева, например, или у Бутенина с Ко. И это не потому, что ни кто, кроме Вас не знает о существовании стартовых столов, а потому, что все знают, что такое <<математическая модель>>.

[Утундрий]

Думаю, что здесь нужно учитывать, когда эта книжка писалась, как тогда относились к ракетной тематике и в каких жизненных обстоятельствах находился её автор.

[EUgeneUS]

drzewo в сообщении #1675832 писал(а):

Этот <<подвох>> не учитывается не только в <<выше в попытках решения>>, но и еще в куче книг, в которых эта классическая задача рассматривается. У Маркеева, например, или у Бутенина с Ко. И это не потому, что ни кто, кроме Вас не знает о существовании стартовых столов, а потому, что все знают, что такое <<математическая модель>>.

Бггг.
1. Математическая модель неполная, очевидно, если ракета запускается не миномётным стартом
2. Эта проверка не рассматривается в учебниках по понятной причине - в этой конкретной задаче числовые данные подогнаны так, чтобы ракета сразу улетела. Вот и не рассматривают варианты, когда не улетела, чтобы не загромождать изложение и не растекаться мысею по древу.
3. А потом 50 и более процентов школониссимусов, успешно решивших эту задачку с предложенными числовыми данными, облажаются на других числовых данных, и запустят ракету из глубины сибирских руд, из каких-нибудь шахт Мории.
4. Вот я и говорю - подвох.

-- 21.02.2025, 16:16 --

Утундрий в сообщении #1675837 писал(а):

Думаю, что здесь нужно учитывать, когда эта книжка писалась, как тогда относились к ракетной тематике и в каких жизненных обстоятельствах находился её автор.

А тут забавно оказалось.
Из ТТХ Фау-2:

1. Масса 12500-14500 кг.
2. Расход (пишут "топлива", но скорее "рабочего тела") - 127 кг в секунду.
$127/12500 ... 127/14500 = 0.01016 ... 0.0086 \approx \mu = 0.01$
3. Скорость истечения топлива, (опять нужно читать "рабочего тела" или "газов") м/с: $2050 \approx a = 2000$

[Утундрий]

Вообще-то я имел в виду ту трешатину, которую Зоммерфельд выдавал за решение.