ZF(C), PA

[maximk]

Существует ли истинное арифметическое утверждение ложное в стандартной модели PA?

[dgwuqtj]

Истинное в какой модели?

[maximk]

В какой-либо модели ZFC, например. Ну или еще где (в целом, возможно, несущественно).

[dgwuqtj]

То есть у вас есть стандартная модель и есть ещё какая-то. В этой ещё какой-то некое арифметическое предложение $\varphi$ истинно. Из этого ничего не следует про истинность $\varphi$ в стандартной модели, разумеется.

Ну и в модели ZFC истинность арифметических предложений не определяют. Нужна модель арифметики первого порядка, не теории множеств.

[maximk]

А теорема Гудстейна в какой модели истинна, а в какой ложна?

[dgwuqtj]

В стандартной модели истинна. И существуют модели арифметики Пеано, в которых она ложна. Они вроде неконструктивно строятся.

[mihaild]

dgwuqtj в сообщении #1675762 писал(а):

Они вроде неконструктивно строятся

У арифметики вообще нет нестандартных моделей, в которых хотя бы сложение вычислимо.

[maximk]

А теорема Париса-Харрингтона?

[dgwuqtj]

Вы просто берёте названия теорем, про которые везде написано, что они истинны и недоказуемы в арифметике Пеано? Есть теорема Гёделя о полноте, её частный случай: если утверждение $\varphi$ недоказуемо в арифметике Пеано, то есть модель арифметики Пеано, где это утверждение ложно. Можете сами вместо $\varphi$ подставлять все известные результаты такого рода.

Ну и тогда надо спрашивать не про теорему Париса — Харрингтона, а про то утверждение, о котором эта теорема. Прочитайте хотя бы формулировку в Википедии.

[maximk]

Только не находил нигде примера ложности конкретно в стандартной модели. Возможно, результат уже кем-то получен.

[dgwuqtj]

Берёте утверждение $\varphi$, истинное в стандартной модели и недоказуемое в арифметике Пеано. Тогда $\neg \varphi$ будет ложным в стандартной модели и истинным в какой-то нестандартной.

[maximk]

А такие утверждения существуют? Просто я не знаю, как они строятся.

[dgwuqtj]

Так вы сами уже 2 примера привели!

[maximk]

А, ну все тогда, спасибо. Просто сказано, что они недоказуемы в PA, но не сказано, в какой конкретно модели они ложны. Оказывается, в стандартной.
Ой, то есть в нестандартной. А отрицание - в стандартной, соответственно.

[mihaild]

maximk в сообщении #1675772 писал(а):

Ой, то есть в нестандартной

В некоторых нестандартных. Любое утверждение, выполенное в стандартной модели, выполнено и в некоторых нестандартных.

maximk в сообщении #1675772 писал(а):

но не сказано, в какой конкретно модели они ложны

Потому что непонятно, как вообще можно указать какую-то конкретную нестандартную модель арифметики.