Преобразование косинуса - два вопроса

[Maxxxu]

Добрый день! Разбираю доказательство теоремы, и почти в самом её конце появились совершенно непонятные утверждения. Буду очень благодарен, если кто-нибудь сможет мне помочь разобраться...

Вот та непонятная часть:

Пусть

$$a^mx = \alpha_m + \xi_m,$$

где

$$\alpha_m$$

- целое число и

$$-1/2 \leqslant \xi_m \leqslant 1/2$$

.
Пусть также

$$h = \frac{1-\xi_m}{a^m}$$

.

Очевидно, что

$$a^n\pi(x+h) = a^{n-m} \cdot a^m\pi(x+h) = a^{n-m}\pi(\alpha_m + 1).$$

Далее в доказательстве написано:
Так как a - нечётное число, из этого следует, что

$$\cos\{a^n\pi(x+h)\} = (-1)^{a^{n-m}(\alpha_m + 1)} = (-1)^{\alpha_m + 1}$$

Вопрос 1 - Откуда взялся переход от косинуса к (-1) в такой степени?

Далее,

$$\cos(a^n\pi x) = \cos\{ a^{n-m}(\alpha_m + \xi_m)\} = \cos(a^{n-m}\pi\alpha_m)\cos(a^{n-m}\pi\xi_m) = (-1)^{\alpha_m}\cos(a^{n-m}\pi\xi_m)$$

Вопрос 2 - Насколько я понимаю, здесь косинус суммы раскладывается в произведение косинусов, но ведь по формуле из тригонометрии,

$$\cos(a + b) = \cos(a)\cos(b) - \sin(a)\sin(b)$$

Тогда куда делись синусы? Или же здесь используется какая-то другая формула?

Заранее спасибо за любую помощь...

[Таня Тайс]

Maxxxu писал(а):

Очевидно, что

$$a^n\pi(x+h) = a^{n-m} \cdot a^m\pi(x+h) = a^{n-m}\pi(\alpha_m + 1).$$

Далее в доказательстве написано:
Так как a - нечётное число, из этого следует, что

$$\cos\{a^n\pi(x+h)\} = (-1)^{a^{n-m}(\alpha_m + 1)} = (-1)^{\alpha_m + 1}$$

Вопрос 1 - Откуда взялся переход от косинуса к (-1) в такой степени?

Если первая строчка очевидна, то на первый вопрос я могу ответить.
Если $a$ нечётное, то $a^{n-m}$ тоже нечётное,
а то, что $ \cos(k \pi ) = (-1)^{k} = -1$, если $k$ нечётное, Вы знаете,
и остается рассмотреть только чётность $\alpha_m + 1$...

[Maxxxu]

Таня Тайс, первая строчка очевидна
После ваших разъяснений ответ на первый вопрос стал тоже очевиден Не пойму, что мне там показалось непонятным

А со вторым вопросом как-то сложнее... Возможно, там аргумент при синусах тоже получается нечётный, и отсюда sin(Pi*нечёт) = 0 ?...

[Fushigi]

Maxxxu писал(а):

Далее,

$$\cos(a^n\pi x) = \cos\{ a^{n-m}(\alpha_m + \xi_m)\} = \cos(a^{n-m}\pi\alpha_m)\cos(a^{n-m}\pi\xi_m) = (-1)^{\alpha_m}\cos(a^{n-m}\pi\xi_m)$$

Вопрос 2 - Насколько я понимаю, здесь косинус суммы раскладывается в произведение косинусов, но ведь по формуле из тригонометрии,

$$\cos(a + b) = \cos(a)\cos(b) - \sin(a)\sin(b)$$

Тогда куда делись синусы? Или же здесь используется какая-то другая формула?

$$sin(\pi\*n)=0$$

для любого целого n, вероятно по этой причине так сокращена формула

[Maxxxu]

Действительно, получается

$$\sin(a^{n-m} \cdot \alpha_m \cdot \pi) = 0$$

, так как

$$\alpha_m$$

- целое и

$$a$$

- целое.

Ну всё, теперь всё стало окончательно понятно.

Таня Тайс, Fushigi, огромное вам спасибо за помощь!