Аналитическое продолжение отклика и принцип причинности

[Kamaz]

При квантово-механическом расчете функции отклика мацубаровскими фГрина получил выражение:
$f(\omega_m)=\sqrt{-\frac{\omega_m^2}{\Delta^2+\omega_m^2}$
Делаю аналитическое продолжение $i\omega_m\rightarrow\omega+i\delta$, где $\delta=0^+$.
Получаю
$f(\omega+i\delta)=\sqrt{\frac{(\omega+i\delta)^2}{\Delta^2-(\omega+i\delta)^2}$.
Такая функция отклика удовлетворяет принципу причинности $f(-\omega)=f^*(\omega)$. Из него следует что $\operatorname{Re} f(-\omega)=\operatorname{Re} f(\omega)$, а мнимая $\operatorname{Im} f(-\omega)=-\operatorname{Im} f(\omega)$.
Выделяю реальную и мнимую части полного выражения при $\delta\rightarrow0$.
Учитывая, что при $\omega^2<\Delta^2$ радикал в знаменателе есть $\sqrt{\Delta^2-\omega^2}$,
а при $\omega^2>\Delta^2$ радикал есть $\operatorname{sign}(\omega)i\sqrt{\omega^2-\Delta^2}$, получаю
$\operatorname{Re}f(\omega)=\frac{|\omega|}{\sqrt{\Delta^2-\omega^2}}\theta(\Delta^2-\omega^2)$
$\operatorname{Im}f(\omega)=\frac{|\omega|}{\operatorname{sign}(\omega)\sqrt{\omega^2-\Delta^2}}\theta(\omega^2-\Delta^2)=\frac{\omega}{\sqrt{\omega^2-\Delta^2}}\theta(\omega^2-\Delta^2)$
Здесь $\theta(x)$ - функция Хевисайда. Полученные выражения удовлетворяют соотношениям причинности.
Но есть сомнения надо ли писать $\operatorname{sign}(\omega)$. Без него причинность не выполняется вроде как, что дает основания думать что он нужен. Но что-то мучают сомнения....

[drzewo]

Вы в какой-то не тот раздел поместили вопрос.


Шабунин ТФКП pdf