антиортогональные системы векторов

[маткиб]

Рассмотрим $n$-мерное векторное пространство над полем вычетов по простому модулю $p$. Векторы $(x_1,\ldots,x_n)$ и $(y_1,\ldots,y_n)$ будем называть ортогональными, если $x_1y_1+\ldots+x_ny_n=0$.

Две системы векторов $(u_1,\ldots,u_k)$ и $(v_1,\ldots,v_k)$ называются антиортогональными, если при всех $i$ векторы $u_i$ и $v_i$ ортогональны, и при всех $i\neq j$ векторы $u_i$ и $v_j$ не ортогональны. Найти максимальное $k$, при котором такие системы существуют.

Для начала можно хотя бы оценить порядок роста этой функции на уровне полином/экспонента. Разбор частных случаев тоже приветствуется.

[maxal]

Уже на плоскости ($n=2$) существует бесконечное семейство антиортогональных векторов:
$u_i = (i,1),\ v_i= (1,-i),\ i=1,2,3,\dots$

Понятно, что $(u_i,v_i)=i-i=0$ и $(u_i,v_j)=i-j\ne 0$ при всех $i\ne j$.

[маткиб]

В $\mathbb{R}^n$, $n\geq 2$ - да, а в пространстве над конечным полем, естественно, бесконечных семейств не бывает.

[маткиб]

Самое интересное, что даже при $p=2$ уже получается неожиданный ответ.

[маткиб]

Запостить решение что ли...
Докажем, что $\left(\substack{n-1 \\ p-1}\right)\leq k\leq\left(\substack{p+n-2 \\ p-1}\right)+1$.

$k\leq\left(\substack{p+n-2 \\ p-1}\right)+1$. Пусть $(u_1,\ldots,u_k)$, $(v_1,\ldots,v_k)$ - антиортогональные системы векторов размерности $n$ над $\mathbb{Z}_p$. Рассмотрим матрицу $R=\{r_{ij}\}$, где $r_{ij}=(u_i,v_j)^{p-1}$, $1,\leq i,j\leq k$ ($(x,y)$ - это рассматриваемое нами скалярное произведение векторов). По малой теореме Ферма, $r_{ij}=1$, если векторы $u_i$ и $v_j$ не ортогональны, $0$, если ортогональны. Из этого следует, что ранг матрицы $R$ не меньше $k-1$.
Рассмотрим выражение
$(a_1x_1+\ldots+a_nx_n)^{p-1}$.
Его можно представить в виде
$\sum_{i=1}^{l}c_i(a_1,\ldots,a_n)p_i(x_1,\ldots,x_n)$,
где $p_1,\ldots,p_l$ - различные одночлены степени не больше $p-1$. Количество одночленов $l=\left(\substack{p+n-2 \\ p-1}\right)$. Из этого представления следует, что существуют такие $l$ векторов размерности $k$, что каждая строка матрицы $R$ представляется в виде их линейной комбинации. Таким образом, $\mathrm{rang}(R)\leq l$. Из этого вытекает доказываемое неравенство.

$\left(\substack{n-1 \\ p-1}\right)\leq k$. Возьмём множество всех векторов, у которых первая компонента и ещё $p-1$ компонент равны 1, остальные - 0. Всё.

Более точной оценки мне не известно.

Добавлено спустя 29 минут 36 секунд:

При $p=2$ ответом является наименьшее нечётное число, большее или равное $n$.

Пример при чётном $n$: первое семейство состоит из вектора $(1,1,\ldots,1)$ и всех единичных векторов, второе из всех векторов, в которых не более одной нулевой компоненты. При нечётном $n$ можно приписать ко всем построенным векторам размерности $n-1$ справа ноль.

Доказательство, что больше нельзя - аналогичное через ранг матрицы (только нужно ранг вычислить точно, а не оценить как $k-1$).