Соответствие расстояний на плоскости и на поверхности сферы

[granit201z]

Здравствуйте. Решил построить атлас российских городов на евклидовой плоскости. Для этого беру Москву и Краснодар, измеряю расстояния от обоих городов до Хабаровска (расстояния измеряются с учетом сферичности земли) и с помощью циркуля располагаю его в евклидовой плоскости. Да, он ушел с чисто "востока" куда то далеко на "северо-восток", но для меня это не критично. Главное, расстояния в треугольнике Москва-Краснодар-Хабаровск соблюдены. Удивительное в другом. Дальше я беру Москву и Хабаровск (на сфере) и замеряю расстояния до Архангельска. По этим расстояниям располагаю и Архангельск (уже на евклидовой плоскости). И вот тут удивительное - расстояние от Архангельска до Краснодара не искажается. То есть замеренное на плоскости соответствует измеренному на сфере. И так для нескольких десятков областных центров. Чудо ли это? Или так и должно быть? Или я просто криво измеряю?))

[Geen]

Дорогие учёные! У меня в подполе третий год происходит подземный стук. Объясните как он происходит.

[granit201z]

Geen в сообщении #1674509 писал(а):

Дорогие учёные! У меня в подполе третий год происходит подземный стук. Объясните как он происходит.

Это то понятно как - тепловые деформации конструкции, давление земляных масс... Вы мне лучше скажите - сфера что? Идеально растягивается в плоскость, если речь идет только о переносе расстояний между соответствующими точками?
Что то типа: для каждого конечного набора точек на полусфере, для которого заданы расстояния между всеми парами точек (как наименьшая длина соединяющей их дуги), найдется соответствующий набор точек в евклидовой плоскости, в котором все расстояния между парами точек сохраняются?

[dgwuqtj]

Скорее, вы криво измеряете. Откуда брали расстояния между городами?

[Geen]

granit201z в сообщении #1674511 писал(а):

для которого заданы расстояния между всеми парами точек

Где заданы? Вы не привели ничего содержательного. Вы что-то как-то намеряли, как-то где-то отложили, и спрашиваете где Вы ошибаетесь? - в самом начале....

[granit201z]

dgwuqtj в сообщении #1674524 писал(а):

Скорее, вы криво измеряете. Откуда брали расстояния между городами?

С Яндекс карт. Там есть инструмент для измерения расстояний. Им мерил. Но, да, согласен - это не самые надежные измерения. Мне тут подсказали - завтра попробую 4 произвольные точки на сфере задать радиус-векторами, измерить 6 полученных расстояний (вычислить длинны дуг между этими векторами) и перенести их на плоскость. Так будет однозначно точнее, и все станет сразу понятно

[dgwuqtj]

Если взять точки в вершинах правильного тетраэдра, то точно не получится. А так как расстояния на сфере и на плоскости удовлетворяют ровно одному вещественно аналитическому уравнению (для точек в общем положении), то отсюда следует, что почти никогда перенести не получится.

[B@R5uk]

Возьмите точку на серверном полюсе и на экваторе. А теперь рассмотрите следующие две точки. Одна тоже на экваторе, равноудалена от первых двух и образует равносторонний треугольник, что на сфере, что будучи перенесена вашим методом на плоскость. Другая точка — на южном полюсе, сторону треугольника на сфере можно выбрать как вам понравится. На плоскости этот "треугольник" выродится в отрезок с тремя равноудалёнными точками на нём, причём он будет продолжать одну из сторон равностороннего треугольника как раз на длину его стороны, а самая дальняя точка на нём будет под углом 120 градусов к третьей построенной и расстояние между последними двумя будет совсем не как на сфере. На сфере все расстояния (кроме одной пары, где оно удвоенно) равны.

Специально подобрал утрированный пример, чтобы наглядно было. Не существует проекции сферы на плоскость, которая бы сохраняла все расстояния. Метрики разные у них.

Можно взглянуть на ситуацию под другим углом. В четырёхугольнике ABCD длины сторон AB, AC, AD, BC и BD известны и фиксированны. Расстояние стороны CD можно по ним определить, что на плоскости, что на сфере. С той лишь разницей, что на сфере это расстояние будет зависеть в том числе и от радиуса сферы, изменяя который можно изменять длину, которая на плоскости останется фиксированной.

[Утундрий]

Вот только плоскоземельщиков здесь ещё не было...

[wrest]

granit201z в сообщении #1674531 писал(а):

С Яндекс карт. Там есть инструмент для измерения расстояний. Им мерил. Но, да, согласен - это не самые надежные измерения.

На Яндекс картах инструменты точные. Линейка там меряет как положено - по дуге большого круга, проходящего через точки.
Периметр треугольника Москва-Хабаровск-Кранодар 14186 км (+/- 10 км в зависимости откуда в каждом городе считать)

[Евгений Машеров]

Есть такое понятие "картографические проекции". Оно возникло в связи с тем, что точно отобразить сферу на плоскость нельзя, что-то будет искажаться (поэтому "проекции" - во множественном числе). В зависимости от задач карты выбирается, что сохраняем, а чем жертвуем.
Карты, сохраняющие расстояния, существуют - это "равнопромежуточные проекции", где вдоль одного направления масштаб сохраняется, искажаются углы и площади.
Есть сохраняющие площади (и остров Гренландия на них не оказывается больше континента Африки), есть сохраняющие углы (из-за отсутствия такой карты некогда убежал от англичан линкор "Бисмарк" - направления на его передатчик, полученные радиопеленгаторами, отложили на обычной навигационной карте), есть где кратчайшие направления на сфере - прямые на карте, есть и иные.
Какой картой Вы пользовались - не вем, но выяснение вопроса надо начинать с того, в какой она проекции (а фундаментальнее даже с вопроса, что есть картографические проекции, тема сложная, в ней великие математики отметились, а ныне лишь профессиональные, но тоже высококвалифицированные)