Маятник

[dovlato]

Когда (неоднородный) стержень подвесили за один из его концов, циклическая частота малых колебаний оказалась равной $\omega_1$. При подвешивании его за противоположный конец получили $\omega_2$. Длина стержня $L$.
Чему будет равна наибольшая частота колебаний $\omega$, если есть возможность выбирать ось вращения, проходящей через любую точку стержня?

[Утундрий]

dovlato в сообщении #1674100 писал(а):

если ось вращения можно выбирать проходящей через любую точку стержня

то почему бы не выбрать в качестве таковой центр масс?

[dovlato]

Цель - получить наибольшую частоту. Наименьшая, очевидно, равна нулю, это именно
тот случай, о котором Вы упомянули.

[Утундрий]

А.

[drzewo]

Да, вроде бы задача простая. Теорему Гюйгенса-Штейнера надо три раза написать, несложную функцию продифференцировать. Но, ведь, в результате решения системы уравнений получаются какие-то дико громоздкие формулы. Прикинул на Maple -- не понравилось.

[Ignatovich]

(Оффтоп)

$\omega_m^2$=$\frac{\omega_0^2}{2}\frac{a_1+a_2}{\sqrt{a_1a_2(a_1+a_2+1)}}$,

где $a_{1,2}=\frac{\omega_0^2}{\omega_{1,2}^2}-1$,

$\omega_0^2=g/L$

[dovlato]

Ignatovich, у меня, похоже, такая же формула, только в других обозначениях.
drzewo, я вручную.. покамест длилось общение кафедры с декантшей.
Громоздко, да, что было неожиданно; условие-то простое.

[chislo_avogadro]

Ignatovich в сообщении #1674125 писал(а):

$\omega_m^2$=$\frac{\omega_0^2}{2}\frac{a_1+a_2}{\sqrt{a_1a_2(a_1+a_2+1)}}$,

где $a_{1,2}=\frac{\omega_0^2}{\omega_{1,2}^2}-1$,

$\omega_0^2=g/L$

Разве $\omega_{1,2}$ не больше, чем $\omega_0$?

[drzewo]

У меня получилась следующая формула для момента инерции стержня относительно центра масс

[dovlato]

Ого. Момент инерции я не вычислял.
И опять же, почему-то всё в задаче получается дико громоздко.
Несмотря на то, что в идейном плане ничего особого.

[chislo_avogadro]

dovlato в сообщении #1674272 писал(а):

в идейном плане ничего особого

Возьмём неоднородный стержень в виде невесомой спицы с насаженным на неё шариком, причём расстояние от него до концов стержня $l_1, l_2; l_1 + l_2 = L$. Условию задачи вроде бы удовлетворяет. Можно ли в этой системе выбрать такую ось вращения, при которой частота колебаний является наибольшей?

[drzewo]

dovlato в сообщении #1674272 писал(а):

Момент инерции я не вычислял.

От этого выражения все равно не уйти.
Ответ задачи:

$$\mbox{квадрат максимальной частоты}=\frac{g}{2}\sqrt{\frac{m}{J}},$$

где $J$ -- тот самый момент инерции стержня относительно центра масс

[dovlato]

Исхожу из равенств

$$ \left\{\begin{aligned} g\omega_1^{-2}&=l_1+R^2/l_1\\ g\omega_2^{-2}&=l_2+R^2/l_2\\ l_1&+l_2=L\\ \end{aligned} \right.$$

где: $l_1; l_2; R$ - соответственно, расстояния от точек подвеса до ЦМ, и радиус инерции тела.
Обозначим: $ \lambda_i=l_i/L; \lambda=R/L$; \omega_0^2=g/L; n_i=\omega_0/\omega_i. Будем иметь:

$$ \left{\begin{aligned}n_i^2&=\lambda_i+\lambda^2/\lambda_i\\ \lambda_1&+\lambda_2=1\\ \end{aligned}\right.$$

Здесь $i=1,2$. Отсюда, сложив первое и второе уравнения, получим:

$$1+\frac{\lambda^2}{\lambda_1\lambda_2}=n_1^2+n_2^2$$

Благодарю EUgeneUS, отметившего ошибку в тексте; видимо, из-за моего слабого владения ТеХом я её в упор не увидел. Просто стёр её. В выкладках я ошибок пока не нашёл.
В результате, если нигде не ошибся, получилось:

$$\lambda^2=\frac{(1-n_1^2)(1-n_2^2)(n_1^2+n_2^2-1)}{(2-n_1^2-n_2^2)^2}$$

$$\omega_{max}^2=\frac{\omega_0^2}{2\lambda}$$

Кабы знать, какими это мучениями сопровождается - даже и не приступал бы.

[EUgeneUS]

Это что-то неверное и лишнее (ниже в выкладках не используется):

dovlato в сообщении #1674394 писал(а):

$\omega_{1,2}^2=g/l_{1,2}$.

-- 12.02.2025, 15:40 --

chislo_avogadro в сообщении #1674293 писал(а):

Возьмём неоднородный стержень в виде невесомой спицы с насаженным на неё шариком, причём расстояние от него до концов стержня $l_1, l_2; l_1 + l_2 = L$. Условию задачи вроде бы удовлетворяет. Можно ли в этой системе выбрать такую ось вращения, при которой частота колебаний является наибольшей?

Совершенно очевидно, что:
1. Нет
2. Почему нет
3. Так и должно быть.

[drzewo]

dovlato в сообщении #1674394 писал(а):

$\omega_{1,2}^2=g/l_{1,2}$.

это неверно