Многообразия, смысл понятия

[Таня Тайс]

Diom писал(а):

Что-то я не очень понял необходимость этого:
$\psi \colon U(m) \to I^n =\{t \in \mathbb{R}^n : \; |t_{i} |< 1\}$

Можно написать и так: ($\psi $ диффеоморфизм)
$\psi \colon U(m) \to \mathbb{R}^n $
Это карта, которая с многообразия идёт не на весь $\mathbb{R}^n $, а на $\mathbb{R}^k $.
Это записано строчкой ниже....

Или так:
$\psi \colon U(m) \to W$, где $W $ открыто в $\mathbb{R}^n $

Добавлено спустя 1 час 13 минут:

Вот ёще хорошая книга: Мищенко, Фоменко, Курс дифф. геометрии и топологии, 2000.
Там в частности в гл.3, параграф 1 "понятие многообразия", лемма 4 поясняет, почему $\psi $ диффеоморфизм.

[Diom]

Цитата:

Сфера компактна, а $\mathbb{R} ^2$ нет, значит, они не могут быть гомеоморфны!

В таком случае на $\mathbb{R} ^2$ можно выбрать компактную область и попытаться гомеоморфно отобразить на неё.
-----------------------------------------------------------
Что мы потеряем если эту запись опустим:
$\psi \colon U(m) \to I^n =\{t \in \mathbb{R}^n : \; |t_{i} |< 1\}$
С этим - $ \psi (M \cap U(m)) = I^k$ - понятно это отображение некого открытого множества в $\mathbb{R}^k$:

Цитата:

Вот ёще хорошая книга: Мищенко, Фоменко, Курс дифф. геометрии и топологии, 2000.
Там в частности в гл.3, параграф 1 "понятие многообразия", лемма 4 поясняет, почему диффеоморфизм.

Эта книга у меня есть... посмотрю

[Someone]

Diom в сообщении #167722 писал(а):

можно выбрать компактную область и попытаться гомеоморфно отобразить на неё.

Компактная область в $\mathbb R^2$ имеет край, а сфера края не имеет.

[Таня Тайс]

Diom в сообщении #167722 писал(а):

Что мы потеряем если эту запись опустим

Какой-то странный на мой взгляд вопрос. Вы же не можете просто взять букву, не сказав, что это такое, даже если эта буква $\psi$.
А Вы бы какой вариант определения многообразия предложили?

[Diom]

Цитата:

Какой-то странный на мой взгляд вопрос.

Хм... я просто пытаюсь понять смысловую нагрузку данного действия. Почему нельзя написать так:
Гладкое k-мерное подмногообразие в $\mathbb{R}^n$ это такое множество точек $M \subset \mathbb{R}^n$, что для каждой точки $m \in M $ найдется её окрестность $U(m)$ и диффеоморфизм $\psi \colon (M \cap U(m)) \to R^k$.

Цитата:

Компактная область в имеет край, а сфера края не имеет.

Не очень понимаю как из этого дальше можно построить доказательство.

[Таня Тайс]

Diom писал(а):

Гладкое k-мерное подмногообразие в $\mathbb{R}^n$ это такое множество точек $M \subset \mathbb{R}^n$, что для каждой точки $m \in M $ найдется её окрестность $U(m)$ и диффеоморфизм $\psi \colon (M \cap U(m)) \to R^k$.

Но это тоже самое, только в определении многообразия вы используете функцию, определенную на этом многообразии. Может, я ошибаюсь, но это как-то непонятно...
Окрестность $U(m) \subset \mathbb{R}^n$.

Теперь остаётся показать равносильность этих определений (из Вашей цитаты и из моей)

Добавлено спустя 1 минуту 56 секунд:

Diom в сообщении #167733 писал(а):

Цитата:
Компактная область в $\mathbb{R}^2$ имеет край, а сфера края не имеет.

Не очень понимаю как из этого дальше можно построить доказательство.

Это доказывает, что такого гомеоморфизма не существует.

Добавлено спустя 40 секунд:

Тут нужно уточнить определение края...

[Diom]

Цитата:

Но это тоже самое, только в определении многообразия вы используете функцию, определенную на этом многообразии.

Ну почему ж... сама функция определена на $\mathbb{R}^n$, а следовательно и на его подмножествах, коим и является наше многообразие.
Естественно $\psi:\mathbb{R}^n->\mathbb{R}^n$, в то время как $\psi \colon (M \cap U(m)) \to \mathbb{R}^k$... точнее наверное, в данном случае, было бы сказать так: $\psi \colon (M \cap U(m)) = A \in \mathbb{R}^n$ причем A диффеоморфно $\mathbb{R}^k$

[Таня Тайс]

Diom писал(а):

Естественно $\psi:\mathbb{R}^n->\mathbb{R}^n$, в то время как $\psi \colon (M \cap U(m)) \to \mathbb{R}^k$... точнее наверное, в данном случае, было бы сказать так: $\psi \colon (M \cap U(m)) = A \in \mathbb{R}^n$ причем A диффеоморфно $\mathbb{R}^k$

$\psi$ определён локально, на $U(m)$, глобально он не обязан даже быть непрерывным!

Я Вам так смело отвечаю... на самом деле это плохо - путать учебники, отовсюду по чуть-чуть, везде порядок определений разный, например, непонятно, что считать гладкой ф-ей (тем более диффеоморфизмом) на многообразии... По крайней мере у нас это было отдельно (позже) определено... Недолго и запутаться тут... Вот так.

[Diom]

Цитата:

Это доказывает, что такого гомеоморфизма не существует.

А если подробнее? Как именно это доказывает.
В принципе с остальным я вроде бы примерно разобрался.. по крайней мере суть понял. Осталось только это

[Таня Тайс]

Someone в сообщении #167724 писал(а):

Компактная область в $\mathbb{R}^2$ имеет край, а сфера края не имеет.

Diom в сообщении #167733 писал(а):

Не очень понимаю как из этого дальше можно построить доказательство.

На сфере нет точек, открытая окрестность которых гомеоморфна полупространству $\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \; : \; x \geqslant 0 \}$, а на любой компактной области $ \subset \mathbb{R}^2 $ есть.