Битовые операции над вероятностями

[Gavrilin-K]

Здравствуйте.
Вопрос по битовые величины, чьи значения точно неизвестны.

Обычно значения битовых операций &,^, ... задаются в т.ч. с помощью таблиц истинности.

например

A | B | A&B

\begin{matrix} 0 & 0 &\!\!\vline\!\!& 0 \\ 0 & 1 &\!\!\vline\!\!& 0 \\ 1 & 0 &\!\!\vline\!\!& 0 \\ 1 & 1 &\!\!\vline\!\!& 1 \end{matrix}

Необходимо провести вычисления как обычными с битами, но с условием, что точное значение бита неизвестно, а есть лишь вероятность(от 0 до 1).

Т.е. рассматриваем значение переменной, как вероятность того, что она равен "1".
Тогда результат вычисления битовых операций можно найти как:
P(a AND b) = Pa * Pb
P(a OR b) = Pa+Pb-Pa*Pb
P(a XOR b) = (1-(Pa*Pb))*(Pa+Pb-Pa*Pb)
P(NOT a) = 1 - Pa

Казалось бы, всё просто, но стоит попробовать функцию чуть посложнее...

Мне досталась:
z = (a & b) ^ ((~a) & c)

Её таблица истинности:

\begin{matrix} A & B & C & Z \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{matrix}

Всего вариантов наборов входящих значений 8, и они равновероятны для случайных a,b,c.
На выходе функции - 4 нуля и 4 единицы, следовательно при случайных входящих данных вероятность на выходе получить единицу равна 1/2

Матмоделирование (именем святого RANDOM-а) также дало результат, близкий к 0.5

Однако, если в формулу для Z подставить a=b=с=1/2, вычислить выражения (a AND b) = (~a AND с) = 1/4 , а затем вычислить от них XOR:
0.25 ^ 0.25,
то Z принимает значение 0.41

Растолкуйте, пожалуйста, почему отличаются результаты и как правильно работать с подобными вложенными вероятностями?

В каком разделе математики изучают подобные вещи? В каком учебнике объясняются такие задачки?

Заранее спасибо!

[пианист]

Gavrilin-K в сообщении #1672907 писал(а):

В каком разделе математики изучают подобные вещи?

Нечеткая логика.

Gavrilin-K в сообщении #1672907 писал(а):

Необходимо провести вычисления как обычными с битами, но с условием, что точное значение бита неизвестно, а есть лишь вероятность(от 0 до 1).

Вот это не подойдет?

[Null]

Gavrilin-K в сообщении #1672907 писал(а):

P(a XOR b) = (1-(Pa*Pb))*(Pa+Pb-Pa*Pb)

Не похоже на правду.

[dgwuqtj]

Теория вероятностей это. Формулы вида $P(a \mathop{\mathrm{AND}} b) = P(a) P(b)$ верны при дополнительном условии, что переменные независимы, но не в общем случае. Скажем, при $a = b$ формула неверна.

[Евгений Машеров]

Вообще это предмет нечёткой логики. Однако операции в нечёткой логике определены... эээ... нечётко. В том смысле, что разные авторы вводят разные определения. Например, "И" определяется через минимум, а "ИЛИ" через максимум. В Вашем примере использован вероятностный подход, но в нём предполагается при соотнесении вероятностей событий (А И В) или (А ИЛИ В) независимость событий А и В постулируется. Но в выражении для z первая конструкция в скобках и вторая не независимы, поскольку в них входят общая переменная a.

[epros]

Не советую лезть в нечёткую логику, ибо эта дисциплина - для вычислений с точностью до "пол - палец - потолок" с помощью произвольно выбранных правил.

Теория вероятностей имеет на всё ответы. В частности, какова бы ни была логическая функция $Z(A, B, C)$, из знания совместного распределения вероятностей аргументов $p(A, B, C)$ всегда можно вычислить $p(Z)$. Ну а если Вы $p(A, B, C)$ не знаете, то всегда можете о нём что-нибудь предположить, например, что оно равномерное.

[Евгений Машеров]

Теория вероятностей даёт строгие ответы при принятии строгих допущений. В частности, презумпции независимости. Предположить - предположить можем.
"У постулирования есть огромные преимущества перед любым другим методом исследования, те же, что и у воровства перед честным трудом"
(Кажется, Бертран Рассел)

[epros]

Евгений Машеров в сообщении #1673208 писал(а):

"У постулирования есть огромные преимущества перед любым другим методом исследования, те же, что и у воровства перед честным трудом"
(Кажется, Бертран Рассел)

Ну, на этот случай у меня есть такой рецепт: Сказать топикстартеру, что постановка его задачи не полностью определена, а значит ответа быть не может.

[Евгений Машеров]

А вот тут встаёт вопрос - кто и зачем ставил задачу? И в зависимости от этого можно либо размышлять о доопределении постановки, либо требовать с поставившего задачу.

[Gavrilin-K]

Большое спасибо всем!
Немного разобрался, в какую сторону копать