Что такое понимать математику

[Mihr]

drzewo в сообщении #1671328 писал(а):

производная в ТФКП это конформное линейное отображение $\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$

Это не позволяет ему быть скоростью?

[skobar]

drzewo в сообщении #1671328 писал(а):

Mihr в сообщении #1671190 писал(а):

Не уловил. В ТФКП производная определяется ровно так же, как в классическом матанализе. Чем не скорость?

производная в ТФКП это конформное линейное отображение $\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$ , если она не ноль конечно

Производная (в точке) в ТФКП может быть любым комплексным числом, в том числе и нулем. Ненулевые комплексные числа, конечно, можно естественным образом отождествить с конформными линейными отображениями из $\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$, но это довольно нетрадиционный способ думать про производную.

[Geen]

А я вот, не понимаю математику. Например, оператор или дискриминант...
Или, к примеру, на первых курсах я не понимал матан, а на старших ознакомился (не учил!) с общей топологией, и понял почему и что я не понимал в матане. Но понимать матан, прямо скажем, я от этого не стал.

[Mihr]

drzewo в сообщении #1671355 писал(а):

меня учили, что скорость это вектор, а не линейный оператор

Скорость в механике - вектор, конечно. Но можно говорить о скорости нагревания, скорости химической реакции и т.д. Многие величины называют скоростью.
В том числе и производную вещественной функции одной вещественной переменной мы называем скоростью роста функции. Хотя она - тоже не вектор.

[skobar]

drzewo в сообщении #1671355 писал(а):

Наоборот. Это очень традиционный способ думать про производную.

Если вы откроете типичный учебник по ТФКП, то там будет совсем другое определение производной. Как про линейное отображение логичнее думать про дифференциал функции.

[drzewo]

skobar в сообщении #1671358 писал(а):

Если вы откроете типичный учебник по ТФКП, то там будет совсем другое определение производной.

Я не говорил про определение производной. И Вы не говорили. Но раз Вы считаете, что мне стоит пойти почитать учебник по данной теме -- считайте, что я пошел читать, а наше общение на этом заканчивается.

[skobar]

drzewo в сообщении #1671359 писал(а):

Я не говорил про определение производной. И Вы не говорили

Ну как же не говорили, если вы отвечали на следующее сообщение Mihr:

drzewo в сообщении #1671328 писал(а):

Mihr в сообщении #1671190 писал(а):

Не уловил. В ТФКП производная определяется ровно так же, как в классическом матанализе. Чем не скорость?

производная в ТФКП это конформное линейное отображение $\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$ , если она не ноль конечно

Речь шла в точности об определении производной. Что написано пером, не вырубишь ...

drzewo в сообщении #1671359 писал(а):

Но раз Вы считаете, что мне стоит пойти почитать учебник по данной теме

Я такого не писал. Я написал

skobar в сообщении #1671358 писал(а):

Если вы откроете типичный учебник по ТФКП, то там будет совсем другое определение производной. Как про линейное отображение логичнее думать про дифференциал функции.

, что совершеннейшая правда.

[мат-ламер]

epros в сообщении #1671189 писал(а):

О, прочитал сейчас сообщение
мат-ламер и обнаружил, что моё мнение абсолютно противоположно. См. выше пример про дивергенцию.

epros в сообщении #1671187 писал(а):

Вспомнил сейчас пример из своей юности. В школьные годы я заинтересовался смыслом уравнений Максвелла, так что для начала захотел выяснить, что же такое дивергенция. К сожалению, нашёл я это в вузовском учебнике по матанализу Кудрявцева, второй том. Там было такое определение:
$\operatorname{div} \vec{a} = \frac{\partial a_x}{\partial x} + \frac{\partial a_y}{\partial y} + \frac{\partial a_z}{\partial z}$.

Я подумал: "Что эта фигня вообще значит и откуда она взялась"? Нет, смысл каждого отдельного символа я понял, я не понял какой смысл в том, чтобы определять такую специфическую комбинацию из производных координат векторов.

К вопросу о дивергенции. Вспоминаю, что учил этот раздел анализа по курсу Фихтенгольца (не знал, что он безнадёжно устарел ) - п.688. Фихтенгольц начинает изложение с теоремы Остроградского-Гаусса. Там внутри тройного интеграла возникает некое выражение. Фихтенгольц обзывает это выражение дивергенцией. У меня по этому поводу никаких мыслей не возникает. У меня бесконечное доверие к автору. Думаю, если надо, то когда сочтёт нужным прояснит суть. А пока просто надо запомнить название и определение. Дальше видно будет. И действительно, Фихтенгольц тут же показывает геометрический смысл дивергенции через поток вектора. Дальше куча физических приложений с дивергенцией. Чуть позже был курс электромагнетизма. Так вообще всё стало на места.

Это я к тому, что если видишь что-то необычное, не торопись паниковать. Может позже прояснится. Вспомнил строки из предисловия к старинной детской энциклопедии: "...отчаиваться не следует. Можно вспомнить слова, с которыми знаменитый французский математик Ж.Лагранж обращался к молодым математикам: "Читайте, понимание придёт потом".

[epros]

мат-ламер в сообщении #1671463 писал(а):

Дальше куча физических приложений с дивергенцией. Чуть позже был курс электромагнетизма. Так вообще всё стало на места.

Ага, вот то-то и оно.

мат-ламер в сообщении #1671463 писал(а):

Это я к тому, что если видишь что-то необычное, не торопись паниковать. Может позже прояснится.

Увы, при чтении Кудрявцева у меня ничего не прояснилось. Оно и понятно: матанализу нет дела до того, будет ли дивергенция применяться в электродинамике или где-то ещё. Но я-то о чём? Чувство понимания у меня возникло только после того, как выяснилось, для чего была введена эта штука.

Я, конечно, тоже за доверие к авторам учебников. Но, увы, оно не может быть бесконечным.

[drzewo]

(Оффтоп)

Претензии epros к курсам матана в данном случае, по-моему, вполне обоснованы.
Есть простой факт, который почему-то, не то что бы не отмечается, но отмечается не на тех страницах где надо:
если функция $f:\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}$ непрерывна то

$$\lim_{r\to 0}\frac{1}{|B_r(x_0)|}\int_{B_r(x_0)}f(x)dx=f(x_0).$$

$|B_r(x_0)|$ -- объем шара радиуса $r$ с центром в $x_0$
Откуда

$$\lim_{r\to 0}\frac{1}{|B_r(x_0)|}\int_{\partial B_r(x_0)}(\boldsymbol v,\boldsymbol n)dS= \lim_{r\to 0}\frac{1}{|B_r(x_0)|}\int_{ B_r(x_0)}\mathrm{div}\,\boldsymbol vdV=\mathrm{div}\,\boldsymbol v(x_0)$$

[Rasool]

Интересно, как будет происходить понимание математики искусственным интеллектом, когда он достигнет уровня, позволяющего решать серьезные научные задачи? Сейчас нейронные сети могут понимать текст на естественном языке, во всяком случае правильно отвечают на вопросы к тексту после его прочтения.