Позиции экстремальных элементов в степенях матрицы

[Optimizator]

Есть семейство квадратных дважды стохастических (при нормировании) матриц $A=A(M)$ размера $M^2$, где $M=2,3,\ldots$:

$$ \left( \begin{array}{cccc} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ \end{array} \right), \left( \begin{array}{ccccccccc} 3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ \end{array} \right), \ldots $$

Заметил, что позиции максимальных (левый верхний элемент везде исключаем) и минимальных элементов четных степеней матрицы $A$ везде совпадают.
Например, при $M=2$ для степеней 2,4,6:

$$ \left( \begin{array}{cccc} 4 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 2 \\ 0 & 2 & 1 & 1 \\ \end{array} \right), \left( \begin{array}{cccc} 16 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 5 & 5 \\ 0 & 4 & 6 & 6 \\ 0 & 6 & 5 & 5 \\ \end{array} \right), \left( \begin{array}{cccc} 64 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 22 & 21 & 21 \\ 0 & 20 & 22 & 22 \\ 0 & 22 & 21 & 21 \\ \end{array} \right) $$

Нет ли простого доказательства у этой гипотезы?

[B@R5uk]

Попробуйте поиграться со спектральным разложением ваших матриц. Возведение в степень в этом представлении будет соответствовать возведению в степень элементов диагональной матрицы собственных значений. Крайние матрицы при этом остаются неизменными, поэтому (при соблюдении каких-то определённых условий) логично, что расстановка больших и малых чисел остаётся неизменной.

[Optimizator]

Да, пробовал. Но в спектре кроме двух единиц и $(M-1)^2$ нулей модули остальных $2(M-2)$ элементов совпадают (равны $1/\Sqrt{M}$), и есть еще одно меньшее на порядок значение $1/M$.
Таким образом, много доминирующих значений. Согласен, что при одном доминирующем все могло бы быть проще.

[lel0lel]

Я бы посоветовал почитать про матрицы смежности, они для ориентированных графов не обязательно симметричные. Свойство со степенями там имеет замечательную интерпретацию, доказывается оно несложно. https://en.wikipedia.org/wiki/Adjacency_matrix

[B@R5uk]

Спектральное разложение матрицы A можно переписать следующим образом:

$$A = V\;\Lambda\;V^{-1}=V\left(\sum\limit_{k=1}^4\lambda_kD_k\right)V^{-1}=\sum\limit_{k=1}^4\lambda_kA_k$$

$$A^n=V\;\Lambda^n\;V^{-1}=V\left(\sum\limit_{k=1}^4\lambda_k^nD_k\right)V^{-1}=\sum\limit_{k=1}^4\lambda_k^nA_k$$

$$A_k = V\;D_k\;V^{-1}$$

Здесь матрицы D с индексом — это нулевые матрицы с единственной единицей на главной диагонали в позиции, указанной индексом. Проделанные выше операции фактически представляют исходную матрицу и её степени в виде правильной суперпозиции фиксированных матриц A с индексом, формула для расчёта которых приведена.

Посмотрим, что получается с вашей самой первой матрицей:

$$A=\begin{pmatrix} 2&0&0&0\\ 0&0&1&1\\ 0&2&0&0\\ 0&0&1&1\\ \end{pmatrix},\quad V=\begin{pmatrix} 0&0&0&1\\ -1&0&1&0\\ 2&-1&1&0\\ -1&1&1&0\\ \end{pmatrix},\quad\Lambda=\begin{pmatrix} -1&0&0&0\\ 0&0&0&0\\ 0&0&2&0\\ 0&0&0&2\\ \end{pmatrix}$$

$$A_1=\frac 1 3\begin{pmatrix} 0&0&0&0\\ 0&2&-1&-1\\ 0&-4&2&2\\ 0&2&-1&-1\\ \end{pmatrix},\quad A_3=\frac 1 3\begin{pmatrix} 0&0&0&0\\ 0&1&1&1\\ 0&1&1&1\\ 0&1&1&1\\ \end{pmatrix},\quad A_4=\begin{pmatrix} 1&0&0&0\\ 0&0&0&0\\ 0&0&0&0\\ 0&0&0&0\\ \end{pmatrix}$$

$$A^{2m}=\frac 1 3\begin{pmatrix} 0&0&0&0\\ 0&2&-1&-1\\ 0&-4&2&2\\ 0&2&-1&-1\\ \end{pmatrix}+\frac{4^m}3\begin{pmatrix} 0&0&0&0\\ 0&1&1&1\\ 0&1&1&1\\ 0&1&1&1\\ \end{pmatrix}+4^m\begin{pmatrix} 1&0&0&0\\ 0&0&0&0\\ 0&0&0&0\\ 0&0&0&0\\ \end{pmatrix}$$

$$A^{2m-1}=-\frac 1 3\begin{pmatrix} 0&0&0&0\\ 0&2&-1&-1\\ 0&-4&2&2\\ 0&2&-1&-1\\ \end{pmatrix}+\frac{4^m}6\begin{pmatrix} 0&0&0&0\\ 0&1&1&1\\ 0&1&1&1\\ 0&1&1&1\\ \end{pmatrix}+\frac{4^m}2\begin{pmatrix} 1&0&0&0\\ 0&0&0&0\\ 0&0&0&0\\ 0&0&0&0\\ \end{pmatrix}$$

Сам не ожидал, получил общую формулу (надеюсь, цифры все правильно переписал, если что — ниже код Matlab для расчёта/проверки). Третья матрица A не нужна, так как собственное значение для неё нулевое (и, как следствие, коэффициент при ней). Думаю, что-что, а из общего вида закономерности должны быть очевидны.

Используется синтаксис Matlab M

clc
clear
format compact

a = [
    2   0   0   0
    0   0   1   1
    0   2   0   0
    0   0   1   1
];

[v, d] = eig (a);
vv = round (v * diag ([sqrt(6), sqrt(2), sqrt(3), 1]));
a1 = vv * diag ([1 0 0 0]) * vv ^ -1;
a2 = vv * diag ([0 1 0 0]) * vv ^ -1;
a3 = vv * diag ([0 0 1 0]) * vv ^ -1;
a4 = vv * diag ([0 0 0 1]) * vv ^ -1;

disp ('A = ')
disp (a)
disp ('V = ')
disp (vv)
disp ('L = ')
disp (round (d))
disp ('3 A1 = ')
disp (round (3 * a1))
disp ('A2 = ')
disp (a2)
disp ('3 A3 = ')
disp (3 * a3)
disp ('A4 = ')
disp (a4)
 

[Optimizator]

Спасибо большое!
Да, как-то не подумал, что сопровождающие матрицы при одинаковых собственных значениях можно объединить.