задача из Мещерского

[drzewo]

Диск катится без проскальзывания по неподвижному колесу под действием момента сил, который приложен к невесомому водилу $OO_1$. Масса диска известна, радиусы тоже. Момент сил -- известная функция времени. Найти закон движения системы. Трения в шарнирах нет.

В задаче куча реакций идеальных связей, поэтому лобовое выписывание уравнений движения твердого тела -- не самая хорошая идея. В задачнике предлагается использовать теорему об изменении кинетической энергии. Я бы использовал уравнения Лагранжа второго рода. В обоих случаях возникает некоторая проблемка с приложением момента к чему-то безмассовому. Я не вижу лучшего способа, как написать уравнения, считая водило массивным, а потом устремить его массу к нулю.
А есть ли какой-то строгий способ решения, но без этих фокусов?

[lel0lel]

drzewo в сообщении #1671843 писал(а):

В обоих случаях возникает некоторая проблемка с приложением момента к чему-то безмассовому

Как в школе для невесомых блоков решали эту проблему, так и теперь -- приравнять суммарный момент на кривошип нулю, иначе, возникает бесконечное ускорение. Уравнения движения здесь выписываются довольно просто: два для диска, одно для кривошипа и связь.

[drzewo]

Э, нет, так не пойдет :) В теормехе писать уравнения, содержащие реакции идеальных связей -- это просто зашквар.

[lel0lel]

Мы ж это, как его, теормехов-то не заканчивали)

[drzewo]

Тем не менее, в этой ветке я веду речь о методике. Что задача простая это ясно. И про уравнения с реакциями связей я излишне категорично высказался. Бывает, что удобней писать уравнения из общей физики и исключать из них реакции связей. Но общий принцип как раз состоит в том, что бы писать уравнения в которые реакции связей вообще не входят. Именно для этого придумали принцип Даламбера-Лагранжа, уравнения Аппеля и многое другое. И уж точно в данной задаче писать уравнения с реакциями связей -- это совсем плохо. С методической точки зрения.

[мат-ламер]

drzewo в сообщении #1671843 писал(а):

Диск катится без проскальзывания по неподвижному колесу под действием момента сил, который приложен к невесомому водилу

Гравитация на этот диск не действует?

[drzewo]

Как хотите, существа дела это не меняет

[amon]

drzewo в сообщении #1671843 писал(а):

А есть ли какой-то строгий способ решения, но без этих фокусов?

Может и глупость. А ввести силу $\mathbf{F}=Ml\mathbf{e}_\varphi,$ приложенную к центру мелкого диска, и забыть про водило не получится? Забыть в смысле загнать в уравнение связи.

[Утундрий]

По-моему здесь проще задать кинематику, вычислить все действующие силы и моменты, а потом уже собирать их из реакций. Так условие безмассовости води́ла(ы?) свяжет заданный момент с одной из сил реакций, та зацепится за другую, отсутствие прижатия колёс обнулит третью и до победного...

[Padawan]

drzewo
А почему нельзя написать

$$\frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial\dot\varphi}-\frac{\partial T}{\partial\varphi}=M, $$

, где $\varphi$ -- угол поворота рейки $OO_1$, $T=T(\varphi,\dot \varphi) $ -- кинетическая энергия системы?

[drzewo]

Padawan в сообщении #1671917 писал(а):

написать

$$\frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial\dot\varphi}-\frac{\partial T}{\partial\varphi}=M, $$

Именно так и надо писать. Просто при вычислении обобщенной силы $M$ возникают нюансы, связанные с безмассовостью тела, к которому приложен момент. Я склоняюсь к тому, что в данном и подобных случаях ничего кроме

drzewo в сообщении #1671843 писал(а):

написать уравнения, считая водило массивным, а потом устремить его массу к нулю.

не поделаешь

[Padawan]

drzewo
А разве массивность/безмассовость рейки как-то влияет на работу активных сил? Только на кинетическую энергию $T$ влияет же.

[drzewo]

Padawan в сообщении #1671930 писал(а):

А разве массивность/безмассовость рейки как-то влияет на работу активных сил? Только на кинетическую энергию $T$ влияет же.

В одной и той же системе активные силы и связи могут вводиться по разному. И для меня как-то неочевидно, что прикладывание сил к безмассовым объектам a priori не приведет к бессмыслице ни в каком мыслимом случае.

-- 29.01.2025, 19:19 --

Так или иначе, силы действуют на материальные точки. Просто по определению.

[drzewo]

Еще одно методическое замечание:
если большое колесо крутить по заданному закону движения, теоремы об изменении кинетической энергии будет недостаточно для решения, а уравнение Лагранжа по прежнему будет работать.