Точки Лебега и аппроксимативная единица

[Padawan]

Пусть последовательность функций $\{f_n(r)\}_{n=1}^\infty$, заданных при $r\in [0, 1]$, обладает свойствами:
1) $f_n(r) \geqslant 0$ для всех $r\in [0, 1], n=1, 2,\ldots$;
2) для любого $\delta\in (0,1)$ выполнено $\lim\limits_{n\to\infty} \sup\limits_{r\in[\delta,1]} |f_n(r)|=0$;
3) $c_m \int_0^1 f_n(r) r^{m-1}dr=1$ для всех $n$, где $c_m=m\frac{\pi^{m/2}}{\Gamma(m/2+1) }$ -- $m-1$- мерная площадь единичной сферы в $\mathbb R^m$;
4) $f_n(r) $ монотонно убывает на отрезке $[0, 1]$ при каждом фиксированном $n$.
Условия 1) -- 3) означают, что функции $f_n(|x|)$ образуют неотрицательную дельтаобразную последовательность в $\mathbb R^m$.
Пусть $g(x) $ -- локально интегрируемая функция в $\mathbb R^m$. Доказать, что для почти всех $x\in\mathbb R^m$ (а именно, для всех точек Лебега функции $g$) выполнено

$$ \lim\limits_{n\to\infty}\int\limits_{B(x, 1) } f_n(|y-x|) g(y) dy=g(x) $$

[sup]

Что-то слишком много условий на $f(r)$. Для сходимости п.в. так много не надо. Или речь именно о точках Лебега?

[Padawan]

sup
Нет, нужна сходимость почти всюду. А Ваши условия какие?

[sup]

Меня прежде всего смутило требование монотонности. Вроде бы, зачем? Ну, пусть осциллирует, жалко что ли. Потом, все таки, понял, что так легко от него не отделаешься. Положительность вообще не нужна. Условие (3) по существу, а условие (2) слишком жесткое. Достаточно чего нибудь послабее, типа интеграл (от модуля) по интервалу $(\delta, 1)$ стремится к 0. Ну, что-то-такое. Неприниципиально.

А вот с монотонностью интереснее. Я, как обычно, немножко увлекся и мне показалось, что его можно сильно ослабить. Но не тут-то было. Принципиально ослабить не получилось. Осталось требование типа $rf_n(r)$ имеют ограниченную вариацию, равномерную по $n$. Ну, что-то такое. Сильная осцилляция не проходит. Было бы интересно или ослабить и это требование, или построить контрпример.

Прикольная задача.

[Padawan]

sup в сообщении #1671746 писал(а):

Осталось требование типа $rf_n(r)$ имеют ограниченную вариацию, равномерную по $n$. Ну, что-то такое.

Да, да, до этого я тоже допëр.

sup в сообщении #1671746 писал(а):

Достаточно чего нибудь послабее, типа интеграл (от модуля) по интервалу $(\delta, 1)$ стремится к 0. Ну, что-то-такое. Неприниципиально.

Это понятно.

sup в сообщении #1671746 писал(а):

Положительность вообще не нужна.

А какое условие надо? Равномерно по $n$ ограничены интегралы $|f_n(r)|r^{m-1}$?

[sup]

Ну, да. Что-то-такое. Какая-то подходящая суммируемость. Главное, чтобы "хвост" вел себя "хорошо" и не вилял собакой ))).