Что такое понимать математику

[Mihr]

мат-ламер в сообщении #1671175 писал(а):

Журналистка брала интервью у математика. Призналась, что в детстве у неё очень хорошо шла математика. Но когда дошли до отрицательных чисел, что-то сломалось. Она не смогла их себе "представить". И дальше всё пошло наперекосяк (касательно математики и физики).

Это какая-то нелепость. Отрицательные числа появляются в 6-м классе. Физика - в 7-м. Сказать о том, что знакомство с отрицательными числами стало вдруг мешать изучению физики (которое ещё не началось!) может лишь тот, у кого в голове всё смешалось, как в доме Облонских. (Или всё обломилось, как в доме Смешанских).

[мат-ламер]

Mihr в сообщении #1671178 писал(а):

Можно пример: когда производная - не скорость?

Извините, нет (без обид). Я зашёл в тему, чтобы поделиться собственным опытом, а не для того, чтобы что-то отстаивать и о чём-то спорить. Если у вас есть этот собственный опыт, то с интересом его выслушаю. Если вы зашли, чтобы доказать, что кто-то тут неправ, тоже выслушаю, но с уже меньшим интересом.

-- Чт янв 23, 2025 10:11:40 --

Sender в сообщении #1671179 писал(а):

Комплексными числами вполне естественно измерять, к примеру, амплитуду и фазу электрического сигнала, взять тот же метод комплексных амплитуд.

Понятное дело. Только не путайте понятия "можно", "естественно" и "обязательно". Комплексные числа не обязательно что-то должны измерять (как думал тот ТС). Хотя в ряде случаев вполне могут.

[dgwuqtj]

Anton_Peplov в сообщении #1670962 писал(а):

А как у вас? Сталкивались ли вы с проблемами "не понимаю, почему это определение именно такое" или "могу проследить доказательство по шагам, но не понимаю, что происходит"? Если да, то на каком материале? Как их решили?

Много раз такое было, обычно потом всё как-то вставало на свои места. С более абстрактными разделами мне помогло не столько решение задач, сколько наличие связей с другими областями математики. Скажем, я столкнулся с гомологической алгеброй в 1 семестре (чисто из интереса заглянул), по шагам все рассуждения были понятны, а смысл — нет. Потом уже, когда познакомился с алгебраической топологией, сразу появилась и мотивация, и приложения для алгебраической деятельности.

Ещё часто встречаются немотивированные доказательства (хотя формулировка понятна, и зачем это нужно — тоже понятно). В общих курсах таких практически нет, я думаю, из-за общего опыта преподавания. А в более современных разделах или ещё не придумали совсем простых доказательств, или таких в принципе не бывает... Приходится с этим мириться.

(Оффтоп)

Mihr в сообщении #1671178 писал(а):

Можно пример: когда производная - не скорость?

Производная из ТФКП, например...

[Dedekind]

Mihr в сообщении #1671182 писал(а):

знакомство с отрицательными числами стало вдруг мешать изучению физики (которое ещё не началось!

Вполне легко представить. Отрицательные числа начались в 6-м классе, стало непонятно, забила на математику, что вылилось в неумение решать задачи по физике, когда та началась в 7-м. Ну и дальше как снежный ком.

[epros]

Anton_Peplov в сообщении #1671138 писал(а):

Но уж точно не для понимания того, что такое дроби.

Не углубляясь в бесконечную рекурсию на предмет того, каково должно быть понимание "понимания" в общем случае, а ограничившись частным случаем - каково должно быть понимание дробей - хочу заметить, что если для понимания дробей человек вынужден привлекать фактормножества, формальные символы и конгруэнции, то с его пониманием "понимания" что-то не так.

По моему скромному мнению понимание дробей должно заключаться в первую очередь в том, чтобы понимать, зачем они нужны в жизни простых людей, каково их применение. Т.е. как только мы осознаём, что они нужны для выражения количеств, которые не всегда выражаются целыми числами, так у нас уже появляется какое-то понимание. Дальше его нужно только слегка раскрыть:
1) Раз это количества, значит на них должны быть определены отношения равенства и порядка, а также арифметические операции.
2) Раз они расширяют целые количества, значит целые числа при необходимости тоже должны выражаться дробями.

Далее мы должны только принять, какая именно запись дроби нас устроит (пара из числителя и знаменателя), а также какие именно операции и отношения и каким образом должны быть определены (тут и появляются приведение к общему знаменателю и всё прочее). Это всё - абсолютно уровень начальной школы. Что же к этому добавляют всякие фактормножества (да и любые другие множества), алгебры и конгруэнции? А добавляют они к этому только понимание того, что существуют какие-то более общие вещи, чем дроби. Т.е. мы начинаем существенным образом включать в понимание дробей также понимание кучи вещей, кои дробями не являются. В этом я и вижу дефект такого понимания "понимания".

Вспомнил сейчас пример из своей юности. В школьные годы я заинтересовался смыслом уравнений Максвелла, так что для начала захотел выяснить, что же такое дивергенция. К сожалению, нашёл я это в вузовском учебнике по матанализу Кудрявцева, второй том. Там было такое определение:
$\operatorname{div} \vec{a} = \frac{\partial a_x}{\partial x} + \frac{\partial a_y}{\partial y} + \frac{\partial a_z}{\partial z}$.

Я подумал: "Что эта фигня вообще значит и откуда она взялась"? Нет, смысл каждого отдельного символа я понял, я не понял какой смысл в том, чтобы определять такую специфическую комбинацию из производных координат векторов. Я даже добрался тогда до теоремы Гаусса, но она мне как-то не зашла. Типа, ну, есть какое-то странное свойство у интеграла от такой странной комбинации производных, и что?

Настоящее понимание у меня появилось уже в вузе, когда нам в курсе общей физики (а не матанализа!) определили дивегенцию как предел отношения потока через поверхость к объёму, охватываемому этой поверхностью. Я тогда сразу подумал: "Ага, так вот для чего на самом деле нужна эта штука". Ну и, конечно, когда потом из этого определения вывели ту формулу дивергенции, которую я нашёл у Кудрявцева, я был полностью удовлетворён.

[Sender]

мат-ламер в сообщении #1671175 писал(а):

Журналистка брала интервью у математика. Призналась, что в детстве у неё очень хорошо шла математика. Но когда дошли до отрицательных чисел, что-то сломалось. Она не смогла их себе "представить".

Как сейчас помню: когда нам в школе давали отрицательные числа, учительница произнесла что-то вроде: "Градусник за окном у всех есть?" В те времена зимы были не чета нынешним, так что отрицательные числа можно было не только представить, но и вполне отчётливо ощутить.

[epros]

О, прочитал сейчас сообщение мат-ламер и обнаружил, что моё мнение абсолютно противоположно. См. выше пример про дивергенцию.

[Mihr]

мат-ламер в сообщении #1671183 писал(а):

Я зашёл в тему, чтобы поделиться собственным опытом

Ну, так я и имел в виду: когда в Вашем восприятии производная - не скорость? Не хотите говорить - не надо. Какие могут быть обиды. Только имело ли смысл вообще высказываться, если собственные слова Вы отказываетесь комментировать? В любом случае, дело Ваше, конечно.

dgwuqtj в сообщении #1671184 писал(а):

Производная из ТФКП, например...

Не уловил. В ТФКП производная определяется ровно так же, как в классическом матанализе. Чем не скорость? Лишь тем, что двухкомпонентна?

Dedekind в сообщении #1671185 писал(а):

Вполне легко представить. Отрицательные числа начались в 6-м классе, стало непонятно, забила на математику, что вылилось в неумение решать задачи по физике, когда та началась в 7-м. Ну и дальше как снежный ком.

А, ну если так рассуждать, то отрицательные числа помешали затем и знакомству с химией, наверно, и с информатикой, а ещё успешной сдаче ЕГЭ по любым предметам, получению золотой медали, красного диплома и, наконец, премии Филдса. Они помешали построению успешной карьеры бизнесвумен, пришлось стать журналисткой...

(Оффтоп)

Вспомнилось из "Ералаша": "Ты не виноват! Во всём виноват Антон Палыч Чехов! Не выйдет, Табуреткин! За свои поступки (тук-тук-тук по столу) каждый человек (тук-тук-тук!) должен отвечать сам! (тук-трах-бабах!)"

[Dedekind]

Mihr в сообщении #1671190 писал(а):

а ещё успешной сдаче ЕГЭ по любым предметам

Почему по любым? По тем, где нужна математика. Но есть ведь множество других направлений человеческой деятельности, где можно стать успешным и без отрицательных чисел с дробями и интегралами. Та же журналистика. И потом, почему "пришлось"? Профессия ничем не хуже химика или математика:)

[Mihr]

Dedekind в сообщении #1671191 писал(а):

Почему по любым?

Потому что удар по самолюбию ("я не такая способная, как до сих пор считала"), отсюда депрессия и т.д.
Не обязательно должно было сложиться именно так, конечно. Просто собственные неудачи можно "объяснить" и так, если вдруг захочется.
В общем, неубедительно - вот всё, что я хотел сказать.

[Dedekind]

Mihr в сообщении #1671192 писал(а):

В общем, неубедительно - вот всё, что я хотел сказать.

Понятно. Ну, я с таким сталкивался не раз (и на своем, и на чужом опыте), поэтому для меня звучит вполне убедительно:)

[drzewo]

(Оффтоп)

peg59 в сообщении #1670967 писал(а):

А в алгебрах Ли волшебным образом возникает операция коммутации. Почему именно она эквивалент произведения?

она не эквивалент произведения, она энфинитезимальный эквивалент коммутатора в группе Ли. А сложение в алгебре Ли -- это скорее инфинитезимальный эквивалент умножения в группе. Конечно, все это очень неформально. Вот например есть композиция ортогональных операторов, а есть сложение угловых скоростей.

peg59 в сообщении #1670967 писал(а):

что базисные векторы это операторы $\partial / \partial x_i$

меня устроило то, что эти операторы преобразуются при замене координат так как положено преобразовываться базисным векторам

[VAL]

Лет 30 (с хвостиком) тому назад я, наблюдая за студентами, выделил 5 уровней понимания математики.

0. Нет понимания, что вообще надо что-то понимать. Надо знать в какие формулы что подставить.
Примерно 70% наших студентов.

1. Есть понимание, что нет понимания.
Примерно 20% наших студентов.

2. То самое пошаговое понимание без понимания в целом, о котором писал топикстартер.
Примерно 7% наших студентов.

3. Понимание естественности формулировок и доказательств. Иллюзия, что иначе и быть не может.
Примерно 3% наших студентов.

4. Понимание естественности формулировок и доказательств, а также того, что может быть и иначе.
Примерно 0.3% наших студентов.

Статистика интуитивная. Но порядок чисел, полагаю, таков.

[Ende]

Выделена тема «Определение дроби по EminentVictorians»

[drzewo]

Mihr в сообщении #1671190 писал(а):

Не уловил. В ТФКП производная определяется ровно так же, как в классическом матанализе. Чем не скорость?

производная в ТФКП это конформное линейное отображение $\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$ , если она не ноль конечно