Иррациональное число между двумя рациональными

[Gecko]

Казалось бы, простой факт существования иррационального числа между двумя любыми неравными друг другу рациональными, но не могу найти нормального доказательства.
Интересно, как это можно доказать, имея в распоряжении только аксиоматику вещественных чисел.
Понятно, что доказательство можно свести к доказательству того, что $ \forall q \in\mathbb{Q} \ (q > 0) \ \exists r \in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}: 0 < r < q$.
$\forall m\in \mathbb{N} \ \exists r^\prime \in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}: 0 < r < m$, откуда $\forall m\in \mathbb{N}, \forall n\in \mathbb{N} \ \exists r \in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}: 0 < r = \frac{r^\prime}{n} < \frac{m}{n}$.
Доказать, что $r$ - произведение иррационального числа на рациональное - является иррациональным, несложно.
Вопрос в том, откуда мы знаем, что для любого натурального числа найдется положительное иррациональное, меньшее его. Из аксиомы полноты понятно, что между 0 и 1 есть вещественные числа, но непонятно, что есть именно иррациональные.

[dgwuqtj]

Можно начать с того, что иррациональные числа вообще существуют.

[sydorov]

Если бы вас устроило представление вещественных чисел в виде бесконечнынх десятичных дробей, то такая задача рассмотрена в пособии Бутузова, Крутицкой,... Математический анализ в вопросах и задачах.

[Gecko]

sydorov в сообщении #1671319 писал(а):

Если бы вас устроило представление вещественных чисел в виде бесконечнынх десятичных дробей, то такая задача рассмотрена в пособии Бутузова, Крутицкой,... Математический анализ в вопросах и задачах.

Да, это я видел, спасибо. Но так неинтересно .

dgwuqtj в сообщении #1671299 писал(а):

Можно начать с того, что иррациональные числа вообще существуют.

Допустим, нам это стало известно . Нашли мы какое-то иррациональное число . Если оно отрицательное, то возьмем противоположное ему $r^\prime$. Если на числовой прямой это положительное число находится между 0 и 1, то задача решена. В противном случае оно лежит между какими-то соседними натуральными числами, и это число можно представить в виде суммы предшествующего ему ближайшего натурального числа и какого-то числа $r$: $n < r^\prime = n + r < n + 1$. Таким образом, получим иррациональное $r$: $0 < r < 1$.

[mihaild]

Gecko в сообщении #1671322 писал(а):

В противном случае

Можно взять $1 / r$.

[drzewo]

ну есть же десятичные дроби...

[nnosipov]

И обыкновенные дроби тоже есть. И вот только интриги в подобных вопросах никакой нет.

[мат-ламер]

Gecko в сообщении #1671297 писал(а):

Вопрос в том, откуда мы знаем, что для любого натурального числа найдется положительное иррациональное, меньшее его.

Можно начать с того, что $1 < \sqrt{2} < 2$ . Дальше мы можем прибавить ко всем членам неравенства любое целое число (но одинаковое).

[B@R5uk]

Gecko в сообщении #1671297 писал(а):

Интересно, как это можно доказать, имея в распоряжении только аксиоматику вещественных чисел.

Показать, что масштабирование и/или сдвиг отрезка с рациональными коэффициентами переводить рациональные числа в рациональные, а иррациональные — в иррациональные, соответственно. Затем указать произвольный отрезок с рациональными концами и заведомо иррациональным числом внутри (строго). Затем произнести волшебную фразу "в связи с доказанным выше, очевидно, что...". Наверное, стоит потом сделать замечание, что рациональность/иррациональность не приводит к смене порядка следования чисел при сдвиге/масштабировании отрезка, а то вдруг.

[Евгений Машеров]

Предположим, что нам дано число s, иррациональность которого постулируется. Оно лежит между целыми n и $n+1$. Для двух рациональных $p<q$ найдем $r=s \frac {q-p}{(n+1)-n}=s(q-p)$ Если r рационально, то, поскольку $s= \frac r {q-p}$, s тоже рационально.

[EUgeneUS]

Gecko в сообщении #1671322 писал(а):

Да, это я видел, спасибо. Но так неинтересно .

Неэстетично, зато дешево, надежно и практично.

1. Любая дробь $\frac{m}{n}$ представляется в виде периодической десятичной дроби. Возможно, с апериодической частью вначале.
Если это нужно доказать - доказывается несложно при рассмотрении процедуры вычисления десятичной дроби.
2. Построение бесконечной апериодической десятичной дроби, лежащей между любыми двумя различными десятичными дробями тривиально.