Замена аксиомы непрерывности на другие аксиомы

[dgwuqtj]

А с аксиомой непрерывности вы это как умеете делать?

[Gecko]

У последовательности левых концов существует точная верхняя грань.

[dgwuqtj]

Ок... Замените теперь супремум на предел. У вас же есть способ доказывать, что предел существует (критерий Коши).

[Gecko]

Ок. Получаем, что для $\forall\varepsilon>0 \ \exists N(\varepsilon)\in\mathbb{N}: \forall n\geqslant N, \forall m \geqslant N \ |a_n - a_m|<\varepsilon$.
($N(\varepsilon) = [\frac{b_0 - a_0}{\varepsilon}]+2$, т.к. $|a_n - a_m| \leqslant \sum\limits_{k=N}^{\infty}\frac{b_0 - a_0}{2^k}=\frac{b_0-a_0}{2^{N-1}}<\frac{b_0-a_0}{N-1}$).
А если последовательность левых концов ${a_n}$ фундаментальна, то она имеет предел.
Аналогично с правыми концами $b_n$отрезка.
Таким образом, отрезок $[a_n, b_n]$ стягивается в одну точку.

[dgwuqtj]

И этот предел лежит в пересечении всех отрезков понятно почему. В обратную сторону, $(1) \Rightarrow (2)$, тоже не очевидно?

[Gecko]

Здесь вроде как понятно.
Опираясь на эквивалентную аксиоме полноты лемму о верхней грани можно доказать принцип Архимеда.
${x_n}$ фундаментальна $\Rightarrow$ ${x_n}$ сходится можно доказать с помощью теоремы Больцано-Вейерштрасса (о существовании хотя бы одного частичного предела у ограниченной последовательности), которая в свою очередь доказывается с помощью принципа Кантора (об общей точке последовательности вложенных отрезков), выведенного из аксиомы полноты. Потом можно показать, что этот частичный предел один.
Для доказательства ${x_n}$ сходится $\Rightarrow$ ${x_n}$ фундаментальна аксиома полноты наверное и не нужна.