Распространение потенциала по проводу. Телеграфные уравнения

[s4kkkk]

Пытаюсь разобраться и найти объяснения тому, как распространяется сигнал от одного конца провода к другому. То есть, то, как растет потенциал с конца провода при подаче с другого конца постоянного напряжения.

Если рассматривать провод как длинную линию с распределенными параметрами, то получается следующая модель:


Которая приводит к телеграфным уравнениям:

$$ \frac{\partial U}{\partial x} = -L \frac{\partial I}{\partial t} , \; \; \frac{\partial I}{\partial x} = -C \frac{\partial U}{\partial t} $$

Что в конечном счете приводит к волновому уравнению:

$$ \frac{\partial^2 U}{{\partial x}^2} = LC \frac{\partial^2 U}{{\partial t}^2} $$

Если к границе подключен резистор $R_n$, то для границы будет выполняться: $I(L,t) = U(L,t)/R$. То есть, если подставить в первое телеграфное уравнение, то получим:

$$ \frac{\partial U}{\partial x}\Big|_{x=L} = \frac{-L}{R_n} \frac{\partial U}{\partial t} \Big|_{x=L} $$

Казалось бы, вот то что нужно для численного решения. Но если подставить во второе уравнение, то получается:

$$ \frac{\partial U}{\partial x}\Big|_{x=L} = -C R_n \frac{\partial U}{\partial t} \Big|_{x=L} $$

А это приводит к противоречию:

$$ R_n = \sqrt{\frac{L}{C}} $$

Т.к. нагрузку можно подключать какую угодно, а вот $L$ и $C$ - параметры, определяющие только провод. Они не должны быть связаны с нагрузкой.
Что тут не так?

[sergey zhukov]

s4kkkk в сообщении #1670418 писал(а):

Но если подставить во второе уравнение,

А это вы что куда подставили?

[s4kkkk]

sergey zhukov

$$ \frac{\partial I}{\partial x} = -C \frac{\partial U}{\partial t}, \; \; I = U/R_n $$

$$ \frac{\partial U}{\partial x} = -C R_n \frac{\partial U}{\partial t} $$

[EUgeneUS]

s4kkkk
Лихо Вы подставляете
По сути, Вы для всей линии потребовали

s4kkkk в сообщении #1670418 писал(а):

$I(L,t) = U(L,t)/R$

И получили условие на отсутствие обратной волны (нагрузка согласована с волновым сопротивлением линии)

[sergey zhukov]

s4kkkk
Да, вы предполагаете, что волна на конце линии просто уходит за границу, ( линия как бы продолжается дальше и волна ушла "за конец"). Но для этого нагрузочный резистор должен иметь вот то самое сопротивление, которое у вас получилось (терминальный резистор для безотражательной законцовки линии). При произвольном сопротивлении волна частично отражается, нужно это учитывать. Волновое уравнение имеет решение в виде двух встречных волн - прямой и обратной. Вы полагаете, что обратная волна равна нулю, т.е. нет отражения от конца линии, но это в общем случае не так.

На дискретной модели это легко понять. Последняя емкость получит "импульс тока" от предыдущей катушки и должна передать его дальше, т.е. разрядиться на следующую катушку, но на конце линии следующей катушки нет. Тогда емкость разряжается в обратную сторону на предыдущую катушку. Так запускается обратная волна. А если на конце стоит специально подобранный резистор нужного сопротивления, то последняя емкость разряжается на него в точности так, как будто на следующую катушку, т.е. как если бы линия не прерывалась. Если мы хотим имитировать за разрезом бесконечную целую линию, когда ее обрезаем (полезно, чтобы в линии не гуляли туда-сюда отражения не нужные), нужно ставить такие резисторы.

[Red_Herring]

Безотносительно к физике задачи, грубая математическая ошибка: есть граничное условие при $x=L$. Вы его дифференцируете по $x$ (а можно только по $t$). Кстати, у вас куча небрежностей: д.б. $U=U(x,t), I=I(x,t)$ , то $R$, то $R_n$ .

[s4kkkk]

sergey zhukov
EUgeneUS

Да, спасибо, понял. Но, тогда получается, что первая подстановка корректная (т.к. там производная по времени). То есть, граничным условием должно выступать:

$$ \frac{\partial U}{\partial x}\Big|_{x=L} = \frac{-L}{R_n} \frac{\partial U}{\partial t} \Big|_{x=L} $$

Для точности модели я решил добавить еще и погонное сопротивление провода $R$, тогда получается такое уравнение:

$$ \frac{\partial^2 U}{{\partial x}^2} = RC \frac{\partial U}{\partial t} + LC \frac{\partial^2 U}{{\partial t}^2} $$

с граничным условием:

$$ \frac{\partial U}{\partial x}\Big|_{x=L} = \frac{-L}{R_n} \frac{\partial U}{\partial t} \Big|_{x=L} $$

.

Но численное решение такого уравнения при адекватных для реальных линий передач параметрах $C = 9.52e-11 $, $L = 2.38e-7 $, $R = 0.1 $, $R_n = 10000$ (более повышать сопротивление нагрузки не стал, ибо появляются проблемы со сходимостью) и при подаче с левого конца импульса напряжения даёт какие-то непонятные импульсы, которые, конечно, затухают с ходом времени (если решать дальше, то оно начинает сходится к напряжению питания), но в действительности, насколько я понимаю, такого не происходит:


Вот решение для других параметров, с которыми затухание колебаний видно:


А вот то, что видно на осциллографе при подключении источника питания 5В:

[sergey zhukov]

s4kkkk

s4kkkk в сообщении #1670442 писал(а):

(более повышать сопротивление нагрузки не стал, ибо появляются проблемы со сходимостью)

А почему же так? Что, нет решений для разомкнутой линии разве? Что-то не то с граничным условием похоже? Какое-то оно подозрительное.

[s4kkkk]

sergey zhukov
Математически проблем нет. Проблемы только практические - для повышения сопротивления нагрузки нужно понижать шаг времени, что неприятно сказывается на скорости вычисления решения. На адекватность граничное условие проверял. Если выставить сопротивление нагрузки равное волновому сопротивлению провода, то волна вообще не отражается. Если выставить большое - то волна отражается фактически полностью.

[Alex Krylov]

1. Моделилрование длинной линии в SPICE-подобных программах. В. В. Логвинов, В. В. Фриск, Схемотехника телекоммуникационных устройств, радиоприемные устройства систем мобильной и стационарной радиосвязи, теория электрических цепей, ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ - II НА ПЕРСОНАЛЬНОМ КОМПЬЮТЕРЕ, Москва, Солон-Пресс, 2011: стр. 65, Лабораторная работа № 19 Исследование на ЭВМ распределения напряжения в длинных линиях

В случае с моделью длинной линии уравнение Максвелла дает эквивалентые RLC-цепи.

2. Моделирование в SPICE-подобных программах теромоэлектрической обратной связи в электронных приборах. Anis Ammous, Choosing a thermal model for electrothermal simulation of power semiconductor devices, 2007

При моделирования тепловых процессов (одномерное) уравнение теплопроводности дает эквивалентные RC-цепи. Разные методы дисретизации уравнения теплопроводности приводят к RC-цепям разной топологии и размерности. Классическая конечноразностная дискретизация (FDTD) уравнения теплопроводности дает RC-цепи кауэровского типа. Конечноэлементая дискретизация (FEM) дает RC-цепи иной топологии (в данной статье - с отрицательной емкостью). Для малых времен FDTD дает цепи очень большой размерности (если оставаться в рамках приемлемой точности), FEM дает гораздо более компактные цепи.

[realeugene]

s4kkkk в сообщении #1670442 писал(а):

А вот то, что видно на осциллографе при подключении источника питания 5В:

10 нс на деление? Не зная про длинные линии и, скорее всего, тем более не зная про технику измерения на таких частотах? Ну, играйтесь.

[sergey zhukov]

s4kkkk в сообщении #1670442 писал(а):

но в действительности, насколько я понимаю, такого не происходит:

Да, это влияние дискретной аппроксимации производных. Само волновое уравнение должно в этом случае давать прямые фронты без "звона".

[Утундрий]

sergey zhukov в сообщении #1670473 писал(а):

без "звона".

Кто хочет подробностей, да возгуглит "Явление Гиббса".

[s4kkkk]

sergey zhukov в сообщении #1670473 писал(а):

s4kkkk в сообщении #1670442 писал(а):

но в действительности, насколько я понимаю, такого не происходит:

Да, это влияние дискретной аппроксимации производных. Само волновое уравнение должно в этом случае давать прямые фронты без "звона".

Я имел ввиду то, что в действительности отсутствуют импульсы, бегущие по проводу туда-обратно. Возможно, конечно, дело в том, что у осциллографа конечное входное сопротивление и емкость, но я сомневаюсь, что эти параметры могут сильно повлиять на результаты наблюдения (в решении волнового уравнения я ставил сопротивление нагрузки 10кОм, что приводило к очень медленно затухающим импульсам, бегающим по проводу туда-обратно. У осциллографа сопротивление на порядки выше). Кажется, что есть какая-то фактическая ошибка в выводе уравнения.

-- 17.01.2025, 18:59 --

realeugene в сообщении #1670456 писал(а):

10 нс на деление?

А что не так? Скорость волны в проводе примерно $0,7 c_0$. С такой скоростью метр провода (у меня примерно 1.5м) сигнал пройдет за 5нс.

[sergey zhukov]

s4kkkk
То, что волна по проводу будет бегать туда-сюда - это несомненно. Другое дело, что за провод, чем измеряем, как подключаем... С первого раза может быть неудачно. Вполне возможно, что слишком сильное затухание.