2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Решить показательное уравнение в натуральных числах
Сообщение11.01.2025, 15:44 


03/12/21
58
Задача:
Решить в натуральных числах уравнение $3^x+7^y=4^z$

Одно решение есть ($x=2, y=1, z=2$). Надо показать, что других нет.
Стандартный способ - переход к сравнению по модулю, при котором уравнение максимально упрощается.
Но для этого уравнения переход к $\mod 3 $ ничего не дает,
из $\mod 4 $ можно вывести только то, что $x, y$ имеют разную четность.

Наверное, надо применить какой-то факт из теории чисел, но какой?

 Профиль  
                  
 
 Re: Решить показательное уравнение в натуральных числах
Сообщение11.01.2025, 16:53 
Заслуженный участник


20/12/10
9148
Докажите, что $x$ должно быть четным. Далее заметьте, что $4^z=2^{2z}$. Затем представьте $7^y$ как разность квадратов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решить показательное уравнение в натуральных числах
Сообщение11.01.2025, 20:11 


03/12/21
58
Не очень понятно, почему именно x должно быть четным.
Перейдя к сравнению по $\mod 4$, получим $(-1)^x+(-1)^y=0 (\mod 4)$
1) x - нечетное, y - четное. $y=2m$
$3^x=4^z-7^{2m}=(2^z-7^m)(2^z+7^m)$
Понятно, что $2^z-7^m=1$

2) x - четное, y - нечетное. $x=2m$
$7^y=4^z-3^{2m}=(2^z-3^m)(2^z+3^m)$
Понятно, что $2^z-3^m=1$

По-моему, 2-й вариант существенно не отличается от 1-го (и как дальше решать эти уравнения?)

 Профиль  
                  
 
 Re: Решить показательное уравнение в натуральных числах
Сообщение11.01.2025, 20:24 
Заслуженный участник


07/08/23
1241
Попробуйте посмотреть по модулю $8$...

 Профиль  
                  
 
 Re: Решить показательное уравнение в натуральных числах
Сообщение11.01.2025, 20:28 


03/12/21
58
dgwuqtj в сообщении #1669537 писал(а):
Попробуйте посмотреть по модулю $8$...

Да, 2е уравнение надо смотреть по модулю 8, а 1е по модулю 16...

Спасибо обоим ответившим

 Профиль  
                  
 
 Re: Решить показательное уравнение в натуральных числах
Сообщение11.01.2025, 21:03 
Заслуженный участник


20/12/10
9148
F111mon в сообщении #1669533 писал(а):
Не очень понятно, почему именно x должно быть четным.
При $z \geqslant 2$ имеем $3^x+7^y \equiv 0 \pmod{8}$, что при нечетном $x$ невозможно.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group