Задача из общей алгебры

[MATEMATuK]

Пардон за English.

Let R be a Noetherian ring in which, for every maximal ideal M, the
maximal ideal of $R_M$(i.e., R localized at M) is principal. Prove that R is the
direct sum of a finite number of rings, each of which is either a Dedekind
domain or a zero-dimensional local ring with a principal maximal ideal.

[MATEMATuK]

Пусть $R$ - нетерово кольцо. Доказать, что $R$ - прямая сумма 0-мерного кольца, в котором ранг каждого максимального идеала $\geq 1$. (Подсказка: если существуют максимальные идеалы с рангом 0, можно использовать процедуру Китайского деления (остатка).)