О предельном нормальном распределении аддитивных ариф. функц

[vicvolf]

Вот ссылка на сообщение, о котором пойдет речь сообщении #1668527"
В доказательстве о предельном нормальном распределении через характеристическую функцию стоит знак приблизительно. Дело в том, что там отсутствует оценка момента третьего порядка, который отвечает за асимметрию распределения. Если распределение симметричное, как нормальное, то момент третьего порядка должен стремиться к 0. В нашем случае нам известно, что момент третьего порядка просто ограничен. Поэтому необходимо выполнение дополнительного условия Линдберга, либо Феллера.
Обычно для выполнения условия Линдберга суммарная дисперсия случайных величин стремится к бесконечности, поэтому это условие нам не подходит (у нас дисперсия ограничена).

Рассмотрим условие Феллера для сильно аддитивной арифметической функции.

В **условии Феллера** для сильно аддитивных функций используется формула дисперсии, которая связана с поведением функции на простых числах. Условие Феллера требует, чтобы ряд:

$\sum_p \frac{\text{Var}(f(p))}{p}$

был конечным (сходился). Здесь $ \text{Var}(f(p)) $ — это дисперсия функции $ f $ на простом числе $ p $.

### 1. **Формула дисперсии в условии Феллера**
Для сильно аддитивной функции $ f(n) = \sum_{p|n} f(p) $ дисперсия $ \text{Var}(f(p)) $ на простом числе $ p $ вычисляется как:

$\text{Var}(f(p)) = f(p)^2 \cdot \left(1 - \frac{1}{p}\right).$

Это связано с тем, что:
-$ f(p) $ — значение функции на простом числе $ p $,
- $ 1 - \frac{1}{p} $ — вероятность того, что простое число $ p $ делит случайное число $ n $.

Таким образом, условие Феллера принимает вид:

$\sum_p \frac{f(p)^2 \cdot \left(1 - \frac{1}{p}\right)}{p} < \infty.$

### 2. **Упрощение условия Феллера**
Поскольку $ 1 - \frac{1}{p} $ близко к 1 для больших простых чисел $ p $, условие Феллера можно упростить до:

$\sum_p \frac{f(p)^2}{p} < \infty.$

Это означает, что ряд $ \sum_p \frac{f(p)^2}{p} $ (1) должен сходиться.

### 3. **Пример для функции $ f(n) = \sum_{p|n} \frac{1}{\ln p} $**
Для функции $ f(n) = \sum_{p|n} \frac{1}{\ln p} $:
- $ f(p) = \frac{1}{\ln p} $,
- $ f(p)^2 = \frac{1}{(\ln p)^2} $.

Условие Феллера принимает вид:

$\sum_p \frac{1}{p (\ln p)^2} < \infty.$

Этот ряд сходится.

### 4. **Итог**
В условии Феллера используется формула дисперсии:

$\text{Var}(f(p)) = f(p)^2 \cdot \left(1 - \frac{1}{p}\right)$

и условие сходимости ряда:

$\sum_p \frac{f(p)^2}{p} < \infty$

Для функции $ f(n) = \sum_{p|n} \frac{1}{\ln p} $ это условие выполняется, так как ряд $ \sum_p \frac{1}{p (\ln p)^2} $ сходится.

Таким образом, чтобы сильно аддитивная арифметическая функция имела предельным нормальное распределение должны сходиться ряды для среднего значения
$ \mu = \sum_p \frac{f(p)}{p} $ (2)

и дисперсии
$\sigma^2 = \sum_p \frac{f(p)^2}{p} $.(3)

Кроме того, должно выполняться условие Феллера (1), которое соответствует (3).

Таким образом, достаточно сходимости рядов (2) и (3), чтобы сильно аддитивная функция имела предельным нормальное распределение.

Вот тут у меня сомнение. Я нигде такого достаточного условия не встречал. Если это правильно, то дайте, пожалуйста, ссылку. Если нет, то укажите на ошибку.

[vicvolf]

vicvolf в сообщении #1669154 писал(а):

Вот тут у меня сомнение. Я нигде такого достаточного условия не встречал. Если это правильно, то дайте, пожалуйста, ссылку. Если нет, то укажите на ошибку.

Спасибо, разобрался.