Затухающий математич. маятник. Точное решение уравнения.

[DFooz]

Вычитал, что решение приводит к эллиптическому интегралу. Где можно почитать про вывод этого решения? Нигде не нашёл.
А уравнение Бесселя является им? Или оно для приближённых решений(при малом угле, когда синус угла заменяется углом)? Оно ведь не отличается от решения, выраженного через экспоненту? Просто другая запись.

Помогите, пожалуйста. В книжках только вижу приближённые решения, а хотелось бы узнать, как точно.

[Someone]

Э.Камке. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. "Наука", Москва, 1971.

6.17. $y''+a\sin y=0$; уравнение колебаний маятника.
Начальные условия: $y|_{x=x_0}=\alpha$, $y'|_{x=x_0}=\beta$.
Если обозначить $k=\sqrt{\sin^2\frac{\alpha}2+\frac{\beta^2}{4a}}$, то решение можно записать в виде

$$\sqrt{a}(x-x_0)=\int\limits_{\frac 1k\sin\frac{\alpha}2}^{\frac 1k\sin\frac y2}\frac{du}{\sqrt{(1-u^2)(1-k^2u^2)}}\text{.}$$

Последний интеграл является эллиптическим.

[GAA]

Еще о решении этого диф. уравнения можно почитать в [1, гл VII, §1, п. 93—96]
[1] Маркеев А.П. Теоретическая механика, 1999.Книгу, также, можно скачать с сайта EqWorld.

Добавлено спустя 2 минуты:

Только Вы, DFooz, привели уравнение «незатухающего» математического маятника.
Поправили бы заголовок темы.

[DFooz]

ошибся. Извиняюсь. Мне нужен затухающий.
{d^{2}\theta}/{d{t}^{2}}+m{\frac {d}{dt}} \theta +k{\it sin}\theta =0Как это уравнение решается? Через Maple не выходит простого решения. Мне сказали, что ф-ия Бесселя явл-ся, но ведь уравнение Бесселя без синуса

ЗЫ:за незатухающий спасибо.

[GAA]

Колебания нелинейного осцилятора с линейным (и не только) сопротивлением рассматриваются в [2] (рассматривается пример с кубической нелинейностью, т.е. $\sin x$ приближенно заменяется на $x - x^3/6$).

[2] Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний (2-е изд.). — М.: Наука, 1974. Книгу можно также скачать с EqWorld.

[Danila88]

Ландау, Лифшиц т.1 "Механика"
(что-то было...)