Является фундаментальной, но не сходящейся

[AntonioVivaldi]

Пример. Система функций $\left(f_n:[-1,1] \longrightarrow \mathbb{R}, n \in \mathbb{N}\right)$, где $f_n(x)=\left\{\begin{array}{ll}n x & |x| \leqslant \frac{1}{n} \\ 1 & x>\frac{1}{n} \\ -1 & x<-\frac{1}{n}\end{array}\right.$, является фундаментальной, но не сходящейся по $\|\cdot\|_2$.

Доказательство. Пусть $m>n$.

$$ \left\|f_m-f_n\right\|_2^2=2 \int_0^{\frac{1}{n}}\left|f_m(x)-f_n(x)\right|^2 \mathrm{~d} x \leqslant 2 \frac{1}{n} \xrightarrow{n \rightarrow \infty} 0 $$

Предположим, $\exists f \in C[-1,1]:\left\|f_n-f\right\|_2 \xrightarrow{n \rightarrow \infty} 0$. Пусть $g(x)=\left\{\begin{array}{ll}1 & x \geqslant 0 \\ -1 & x<0\end{array}\right.$. Очевидно, что $g \notin C[-1,1]$. Следовательно, $f \neq g$ на $[-1,1]$. Стало быть, $f \neq g$ на $[-1,0]$ или на $[0,1]$. Пусть для определенности на $[0,1]$.
Заметим, что $\left\|g-f_n\right\|_2^2 \leqslant 2 \int_0^{\frac{1}{n}} \mathrm{~d} x \xrightarrow{n \rightarrow \infty} 0$. Имеем, $\|g-f\|_2^2 \geqslant \int_0^1|1-f(x)|^2 \mathrm{~d} x=C>0$, так как $f \in C[0,1]$ и $\exists x_0 \in[0,1]: f\left(x_0\right) \neq 1$. Но с другой стороны, $\|g-f\|_2 \leqslant\left\|g-f_n\right\|_2+\left\|f_n-f\right\|_2 \xrightarrow{n \rightarrow \infty} 0$ и поэтому $\|g-f\|_2=0 \neq \sqrt{C}$. Противоречие.



Я правильно понимаю, что на фундаментальность проверяют g и f? Но это ведь не члены одной последовательности, почему так

[Mikhail_K]

AntonioVivaldi
Фундаментальность проверяется в первых двух строках доказательства. Потому что, если коротко, фундаментальность означает, что $\lim\limits_{n,m\to\infty}\|f_m-f_n\|=0$.

После слова "Предположим" - доказательство того, что последовательность не сходится. Потому что после этого слова как раз следует предположение, что $\{f_n\}$ сходится к $f$, и это предположение приводится к противоречию.

Понятно ли, почему так? Если нет, выпишите используемые в вашем курсе определения фундаментальности и сходимости последовательности.

[drzewo]

AntonioVivaldi в сообщении #1669094 писал(а):

является фундаментальной, но не сходящейся по

не сходящейся к элементу какого пространства? для начала

[mihaild]

AntonioVivaldi в сообщении #1669094 писал(а):

но не сходящейся по $\|\cdot\|_2$

Не сходящейся в $C[-1, 1]$. В $L_2[-1, 1]$ она прекрасно сходится.

AntonioVivaldi в сообщении #1669094 писал(а):

Я правильно понимаю, что на фундаментальность проверяют g и f?

Что это вообще значит?
Фундаментальность - это свойство последовательности. На фундаментальность проверяют последовательность $f_n$.
Затем проверяют, сходится ли $f_n$ к чему-то из $C[-1, 1]$. Для этого вводят функцию $g$ и доказывают, что для любой $f$, к которой $f_n$ могла бы сходиться, с одной стороны, $\|f - g\|_2 = 0$, а с другой $\|f - g\|_2 \neq 0$. Т.к. таких $f$ не бывает, то $f_n$ не сходится никуда.

[drzewo]

mihaild в сообщении #1669099 писал(а):

Не сходящейся в $C[-1, 1]$

для того что бы показать, что она не сходится в $C[-1, 1]$ не надо писать интегралы:)

-- 08.01.2025, 17:24 --

Оне хотят показать, что $C[-1, 1]$ не полно относительно $L^2$-нормы

[mihaild]

drzewo в сообщении #1669100 писал(а):

для того что бы показать, что она не сходится в $C[-1, 1]$ не надо писать интегралы

Что оно не сходится в $(C[-1, 1], \|\cdot\|_2)$.

[AntonioVivaldi]

Определение. Нормой функции $f$ в пространстве $C[a, b]$ называется $\sqrt{\int_a^b f^2(x)} \mathrm{d} x$ и обозначается $\|f\|_2$.

[Mikhail_K]

AntonioVivaldi
Это Вы на что именно ответили сейчас?

Вообще, обычно нормой функции в пространстве $C[a,b]$ называется кое-что другое, ну да ладно, пусть так, если в Вашем учебнике так написано.

[drzewo]

AntonioVivaldi в сообщении #1669147 писал(а):

Определение. Нормой функции $f$ в пространстве $C[a, b]$ называется $\sqrt{\int_a^b f^2(x)} \mathrm{d} x$ и обозначается $\|f\|_2$.

В эту фразу можно вчитать столько значений, что она как минимум бессмысленна.

-- 08.01.2025, 23:36 --

На всякий случай. По определению, $C[a,b]$ это линейное пространство непрерывных функций $u:[a,b]\to\mathbb{R}$ снабженное нормой $\|u\|=\max\{|u(x)|:\,x\in[a,b]\}$

[skobar]

AntonioVivaldi в сообщении #1669147 писал(а):

Определение. Нормой функции $f$ в пространстве $C[a, b]$ называется $\sqrt{\int_a^b f^2(x)} \mathrm{d} x$ и обозначается $\|f\|_2$.

Вы должны понимать, что норму в пространстве можно определить многими различными способами. Для каких-то норм пространство будет обладать свойством, что любая фундаментальная последовательность будет сходящейся в этом пространстве (т.е. нормированное пространство будет обладать свойством полноты), а для каких-то норм это свойство выполнено не будет.
Если свойство полноты не выполнено (т.е. существует фундаментальная последовательность, не сходящаяся ни к какой функции из нашего пространства), то в определенном смысле (допуская вольность речи) можно сказать, что введенная норма "неправильная" или "чуждая" для нашего пространства. "Правильными" будут те нормы, которые превращают пространство в нормированное пространство со свойством полноты.
Ваш пример как раз показывает, что норма $\| \|_2$ - это "плохой" выбор для $C[a, b]$. Правильным каноническим выбором нормы в $C[a, b]$ будет просто максимум модуля функции, который превратит пространство в полное нормированное пространство (т.е. банахово).

[Ende]

Выделена тема «Разные функциональные пространства и нормы на них»