Лагранжиан двойного маятника с разными плоскостями колебаний

[Enceladoglu]

Найти нормальные колебания двойного маятника, у которого угол между плоскостями колебаний верхней частицы с массой $3m$ и нижней частицы с массой $m$ равен $60$. Длина каждого стержня равна $l$, их массами пренебречь.

Колебания как я понимаю малы. Я знаю как написать Лагранжиан для случая когда колебания двух маятников происходят в одной плоскости. Но здесь не сходиться, быть может я не так понимаю условие ? Как вообще читать эти обозначений для соединений на рисунке ?

[lel0lel]

Enceladoglu в сообщении #1668639 писал(а):

Как вообще читать эти обозначений для соединений на рисунке ?

Вроде бы рисунок довольно понятный. Стержни закреплены с помощью втулок, это фиксирует угол между плоскостями малых колебаний. Угол между стержнями осьми вращения как раз тот самый, если думать, что рисунок для системы в равновесии.

[Enceladoglu]

lel0lel
Я просто не разбираюсь в этих механических обозначениях(
Т.е. угодно 60 градусов находиться в плоскости рисунка, а колебания происходят в перпендикулярной плоскости ?

[lel0lel]

Enceladoglu
Помните качели на которых старшие могли крутить солнышко?) Здесь тот же принцип, верхний стержень может вращаться, заметая поверхность конуса, шар при этом движется в вертикальной плоскости, в которой лежит основание конуса. Если верхний стержень неподвижен, то нижний также может заметать поверхность конуса, а его шар движется в основании конуса. Вот плоскости оснований -- это и есть плоскости малых колебаний шаров. Поскольку оси вращения образуют тот же угол, что и плоскости, то 60 градусов между маленькими стерженьками (не помню как их правильно называть), которые вставлены во втулки. В предыдущем сообщении, я об угле между большими стержнями сказал -- это неправильно.

[Enceladoglu]

lel0lel
Кажется я что-то понял.
Вообщем все плоскости колебаний перпендикулярно рисунку, причём для верхнего шарика она вертикальная, для нижнего под каким то углом, да ?

[lel0lel]

Enceladoglu
Да, у меня также, но чтобы почувствовать чем мы пренебрегаем и какие при этом должны выполняться требования на параметры системы, я бы рекомендовал записать честный лагранжиан, два угла поворота относительно осей -- это обобщенные координаты.

[Enceladoglu]

lel0lel
Мне бы прежде чем записать Лагранжиан, понять как найти углы больший стержней с вертикалью, в плоскости рисунка, т.е. положение равновесия.

lel0lel в сообщении #1668682 писал(а):

если думать, что рисунок для системы в равновесии.

Я это вообще не учитывал, и поэтому получалось неверно. Думаю это будет последний вопрос

[lel0lel]

Enceladoglu в сообщении #1668745 писал(а):

понять как найти углы больший стержней с вертикалью, в плоскости рисунка

Думаю, что все крепления жёсткие, а углы стержней с осями вращения, по-хорошему, должны быть даны. Считайте, что они равны $\alpha, \beta$. Просто, если это не так, то, убрав второй стержень с грузом, получим классический математический маятник непонятно какой длины. Это задача из учебника, или преподаватель предложил от себя?

[Enceladoglu]

lel0lel
Из учебника. Буквально процитирована)

-- 06.01.2025, 17:55 --

Я постараюсь решить либо в случае произвольных углов, либо с каким то дополнительным предположением и напишу результат

[lel0lel]

Enceladoglu в сообщении #1668748 писал(а):

Буквально процитирована)

Тогда сдаюсь, либо мы как-то неверно её интерпретируем, либо что-то забыли указать в условии. Может к нам присоединится ещё кто-нибудь из участников, тогда разберёмся; если нет, тогда запишем лагранжиан с двумя неизвестными углами)

Enceladoglu в сообщении #1668748 писал(а):

Я постараюсь решить либо в случае произвольных углов

Разумно. Я тоже произвольные острые углы рассмотрю , но завтра.

[Enceladoglu]

lel0lel
Ответ из учебника.
Пусть $\varphi$ и $\psi $ - углы отклонения верхней и нижней частицы от вертикали. Нормальные колебания таковы: $\psi = 2\varphi$ с частотой $\sqrt{\frac{4g}{5l}} $ и $\psi =- 2\varphi$ с частотой $ \sqrt{\frac{4g}{3l}}$
Я только сейчас понял, что тут имелось ввиду под этими углами. Оказывается не при всех углах отклонения от вертикали (которые я вообще изначально считал за 0 и 60 соответственно пока Вы мне не разъяснили что имеется ввиду на рисунке) будут нормальные координаты.
Буду решать

[drzewo]

Enceladoglu

Введите декартову систему координат $Oxyz$, которая качается вместе с первым маятником как показано на рисунке. И будет Вам счастье.
https://ibb.org.ru/1/qONEet

[lel0lel]

Enceladoglu
Судя по ответу, оба стержня перпендикулярны своим осям вращения, просто рисунок построен не для состояния равновесия, отсюда искажение углов.

(Оффтоп)

Что-то сразу не подумал об этом, извиняюсь) Углы просто бы изменили расстояния от тел до соответствующих осей.

[Enceladoglu]

drzewo
lel0lel
Ну если я правильно понимаю кинематику задачи то такие координаты наверное не совсем удобные. Я думаю что логично ось y по вертикали, ось x направить перпендикулярно рисунку, а ось z вдоль горизонтали в плоскости рисунка. Лагранжиан
$L = \frac{3m(\dot{x_1}^2 + \dot{y_2}^2)}{2} + \frac{m(\dot{x_2}^2 + \dot{y_2}^2 + \dot{z_2}^2 )}{2} + 3mgy_1 + mgy_2$
Если углы колебаний в плоскостях колебаний обозначить как альфа, а угол в 60 градусов между плоскостями колебаний обозначить как бетта, то тогда, если я не накосячил
$x_1 = l \cos \varphi \sin \alpha_1 $
$y_1 = l \cos \varphi \cos \alpha_1 $

$x_2 = l \cos \varphi \sin \alpha_1 + l \cos (\beta - \varphi) \sin \alpha_2$
$y_2 = l \cos \varphi \cos \alpha_1 + l \cos (\beta - \varphi) \cos \alpha_2 \cos \beta $
$z_2 = l \cos (\beta - \varphi) \cos \alpha_2 \sin \beta $
Дальше я сдаюсь. Понятно что дальше нужно подставить эти формулы в лагранжиан, разложить косинус до второго порядка и игнорировать все что выше второго, но даже если эти проекции верны, то как мне получить что $ \varphi = 2\psi$ ?

[drzewo]

Enceladoglu в сообщении #1669151 писал(а):

Ну если я правильно понимаю кинематику задачи то такие координаты наверное не совсем удобные.

желаю удачи!