Школьная задачка по пределам

[Neznajka_]

Спасибо, всё классно объяснили!

[Neznajka_]

Ещё одна задачка, помогите. Данное указание никак не помогает, всё-равно не понимаю как доказывать.

[Flood]

Neznajka_
Не понимаю, как тут неравенство Бернулли использовать. На вскидку, нужно доказать сначала для $p=1$, используя бином Ньютона. Потом исходную задачу свести к уже решенной, используя замену для знаменателя.

[TOTAL]

Тоже у к а з а н и е: выразите следующий через предыдущий.

[RIP]

Указание намекает на $\left(\dfrac{n^p}{q^n}\right)^{\frac{1}{p+1}}=\frac{n^{\frac{p}{1+p}}}{(1+\alpha)^n}$. Из неравенства Бернулли следует, что знаменатель «сильно больше» числителя.

[Neznajka_]

RIP в сообщении #1659344 писал(а):

Указание намекает на $\left(\dfrac{n^p}{q^n}\right)^{\frac{1}{p+1}}=\frac{n^{\frac{p}{1+p}}}{(1+\alpha)^n}$. Из неравенства Бернулли следует, что знаменатель «сильно больше» числителя.

Спасибо! (остальным ответчикам - тоже). Выглядит так просто, но самому догадаться ума не хватило

[Neznajka_]

Здравствуйте, помогите, самому никак не осилить. Задача такая:

Цитата:

Докажите равенство, пользуясь определением предела функции:

$ \lim\limits_{x\to a}\sqrt{x} = \sqrt{a}$, при $a>0$.
Указание. Воспользуйтесь тем, что
$ \sqrt{x}-\sqrt{a} = \frac{x-a}{\sqrt{x}+\sqrt{a}} $

При $a\geq1$ вроде как доказать могу. При любом $a$ никак не выходит.
Вот что получается:

Доказать: $\forall \epsilon>0 : (\exists \delta >0 : |x-a|< \delta , x \ne a \implies |\sqrt{x}-\sqrt{a}|< \epsilon)$ (1)

Доказательство:

$ |\sqrt{x}-\sqrt{a}|< \epsilon \iff \frac{x-a}{\sqrt{x}+\sqrt{a}} < \epsilon $ ;
$\frac{|x-a|}{\sqrt{x}+\sqrt{a}}\leq |x-a|< \epsilon$ (2) ;
$a\geq1 \implies$ (2) - верно $\implies$ (1) верно при $\delta \leq \epsilon$

Если $a<1$...Пробовал шаманить по-всякому, но ни к чему в итоге не пришёл.

p.s: Нужно использовать только определение предела функции. Это задание после соответствующего пункта учебника. Дальше идет пункт с разными теоремами про пределы.

[TOTAL]

$\frac{|x-a|}{\sqrt{x}+\sqrt{a}}\leq |x-a|< \epsilon$
$\frac{|x-a|}{\sqrt{x}+\sqrt{a}}\leq \frac{|x-a|}{\sqrt{a}}< \epsilon$

[drzewo]

Сила матанализа состоит как раз в том, что он дает совершенные регулярные методы решения таких задач. А тут наблюдается некоторый регресс на фоне общего прогресса(с): для решения задачи предлагается выпилить напильником на коленке какой-то специальный метод.

[Neznajka_]

TOTAL
Спасибо большое! Эх...

upd:
А впрочем, присмотрелся, и чего-то всё-равно не понятно.

TOTAL в сообщении #1668497 писал(а):

$\frac{|x-a|}{\sqrt{x}+\sqrt{a}}\leq |x-a|< \epsilon$
$\frac{|x-a|}{\sqrt{x}+\sqrt{a}}\leq \frac{|x-a|}{\sqrt{a}}< \epsilon$

Ну вот если отталкиваться от того, больше или меньше единицы $a$, то первое неравенство работает в случае когда больше или равно. А со вторым не ясно:

Если $a<1$, то $ |x-a| < \frac{|x-a|}{\sqrt{a}}$. Тогда, если $|x-a| < \delta $, то не ясно почему $\frac{|x-a|}{\sqrt{x}+\sqrt{a}}\leq \frac{|x-a|}{\sqrt{a}}< \epsilon$ верно...

[Combat Zone]

Neznajka_
Это не так работает.
Фиксируем положительное эпсилон. По нему выберем дельта, чуть ниже определимся какое.
Иксы будем брать такие, чтобы $|x-a|<\delta$.
Тогда $\frac{|x-a|}{\sqrt{x}+\sqrt{a}}\leq \frac{|x-a|}{\sqrt{a}}<\delta/\sqrt{a}=\varepsilon$,
То в качестве дельта можно взять $\delta=\varepsilon \sqrt{a}$

То есть не нужно стараться исходную дробь делать меньше эпсилон сразу же. Оцените ее некоторым выражением (хорошим), которое заставьте быть меньше эпсилон, тогда исходное тем более будет меньше. И дельта хорошо посчитается.

[Neznajka_]

Combat Zone
Спасибо за пояснение!
А что значит "хорошее выражение"?

[Combat Zone]

Neznajka_
Чтобы можно было найти зависимость дельта от эпсилон.