Три последовательные степени невозможны

[SomePupil]

Точной степенью назовем натуральное число $a > 1,$ такое что $a = b^n$ для натуральных $b$ и $n > 1.$ Докажите, что в натуральном ряду нет трех последовательных точных степеней.

[Edward_Tur]

Гипотеза Каталана (теорема Михэйлеску)

[Shadow]

Edward_Tur, это понятно. Наверное автор имел ввиду самим попробовать, ведь тройка значительно облекчает доказательство. (Наверное )
Там две нечетные, болшее нечетное квадрат, остальные степени нечетные взаимнопростые...пока немного.

[SomePupil]

Да, действительно, утверждение имеет отношение к гипотезе Каталана, более того, является побочным результатом доказательства Михайлеску. Однако же оно неизмеримо проще и поддается доказательству гораздо более скромными средствами.

[Shadow]

Я начну, поправьте, если что. Последовательные числа $x^p,y^q,z^r$. Без потери общности будем считать степени простыми. $y$ - четное, т.к. не существует две последовательные четные числа, делящиеся на $4$.

Если $q$ четное, то

$y^q-1=(y^{q/2}-1)(y^{q/2}+1)=x^p$

Множители взаимнопростые, должно выполнятся $y^{q/2}-1=a^p, y^{q/2}+1=b^p$. Тоест,

$b^p-a^p=2$ что невозможно.

Если $q$ нечетное:

$\begin{cases} y^q-1=(y-1)(1+y+y^2+ \ldots +y^{q-1})=x^p \\ y^q+1=(y+1)(1-y+y^2 - \ldots +y^{q-1})=z^r \end{cases}$

Известно, что сомножители если и имеют общий делитель, то только $q$. Но $y-1$ и $y+1$ не могут одновременно делится на $q$. Мне показалось что решил, но нет - думаем дальше.