Вычисление углов двухосевого механического сочленения

[zgemm]

Добрый день, и с наступившим и наступающим Вас Новым Годом!

Немного запутался в стереометрии.

Имею двухосевое механическое сочленение двух цилиндров. На каждом цилиндре есть система поцизионирования, которая позволяет измерить направление вниз и направление на север, причем фактически после небольших трюков из этой системы получаются два ортонормированных вектора. Пусть это $a,b$ для первой системы позиционирования и $c,d$ для второй системы позиционирования.

Система позиционирования изначально не соосна с каждым своим цилиндром.

Само механическое сочленение позволяет повернуть оси цилиндров друг относительно друга так, что если мы эти оси представим в виде векторов с общей точкой, то скалярное произведение этих нормированных векторов может быть любым числом меньше нуля (и конечно же не меньше -1), и любая комбинация поворотов с таким скалярным произведением достигается.

В этом двухосевом сочленении есть две степени свободы, поворот условно влево-вправо и вниз-вверх, и обозначим их переменными $x \in [-\pi/2+\varepsilon,+\pi/2]$ и $y \in [-\pi/2,+\pi/2]$, $\varepsilon$ что-то не большое, но мне точно не известное и никогда не меняющееся.

Перед стартом я могу поставить систему в четыре крайних положения

$1. ~~ x = -\pi/2+\varepsilon, y = -\pi/2$

$2. ~~ x = -\pi/2+\varepsilon, y = \pi/2$

$3. ~~ x = \pi/2, y = -\pi/2$

$4. ~~ x = \pi/2, y = \pi/2$

и измерить то, что видит в этот момент каждая из систем позиционирования, то есть $\forall i=1,...,4: a_i,b_i,c_i,d_i$.

В общем случае, наверное, стоит вообще для каждого из этих краевых значений сказать, что оно почти плюс или минус $\pi/2$, но меньше на какое-то постоянное значение.

Мне надо на основе измеренных векторов из систем позиционирования $(a,b,c,d)$ получить значения $x,y$.

Мои мысли.

Можно найти унитарную $Q$, для которой выполняется

$Q (a,b, [a,b]) = (c,d, [c,d])$,

где $[a,b]$ - векторное произведение.

Тогда мы можем для каждого случая посчитать соответствующие $Q_1, Q_2, Q_3, Q_4$.

Далее мне надо найти такую $P$, что $PQ_i$ будут равны произведению

$$\left( \begin{tabular}{ccc} \cos(x_i) & \sin(x_i) & 0 \\ \sin(x_i) & -\cos(x_i) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{tabular} \right) % \left( \begin{tabular}{ccc} \cos(y_i) & 0 & \sin(y_i) \\ 0 & 1 & 0 \\ \sin(y_i) & 0 & -\cos(y_i) \end{tabular} \right)$$

вот тут далее не сильно понимаю, во-первых если все в лоб приравнять или натянуть на наименьшие квадраты, получается довольно не простой крокодил, который не факт, что даже стабильно будет решаться, а во-вторых, хочется чего-то попроще.

Вдруг кто что умное мне посоветует?

Спасибо!

[zgemm]

Вопрос снимается, похоже проще вначале отградуировать позиционировки так, что их ось параллельна цилиндру, на котором находится, а еще одна ось - параллельна оси поворота прилежащего поворотного механизма, а далее - все через один арктангенс решается.

Всем спасибо и с наступившим новым годом, который и квадрат, и одновременно сумма кубов всех цифр десятичной системы!