Скобки двух видов

[Утундрий]

Пусть имеются скобки двух видов, которые ограничивают... что-то, но не важно что именно. То есть, они всегда парные и не перекрёстно вложенные. Имеется ли для этой задачи какая-нибудь развита́я комбинаторика, или всё нужно клепать с нуля?

[mihaild]

Т.е. корректная последовательность - пустая, конкатенация корректных, и корректная, заключенная в один из двух видов скобок?
Тогда начинаем с одного вида скобок - это просто числа Каталана. И дальше меняем произвольный набор пар на второй вид, получаем число Каталана, умноженное на $2^n$.

[Anton_Peplov]

Для одного вида скобок есть правильные скобочные последовательности, количество которых, как уже было замечено, равно числам Каталана.

[F111mon]

Разные виды скобок используются только для удобства. На самом деле, закрывающая скобка всегда знает, что именно она закрывает.
Или Вы хотите придать смысл выражению ({)}?

[Утундрий]

В этой теме $[()]$ и $([\;])$ — разные выражения.

[mihaild]

Утундрий, так $2^n \cdot C_n$ Вас устраивает?

[Sender]

Утундрий в сообщении #1668247 писал(а):

В этой теме $[()]$ и $([\;])$ — разные выражения.

Замечание mihaild в силе. Число Каталана $C_2=2$, $C_2\cdot2^1=4$, т.е. $[()]$, $([\;])$, $[]()$ и $()[]$.
Если $n_1$ скобок одного вида и $n_2$ другого, всего получится $\frac{(n_1+n_2)!}{n_1!n_2!}C_{n_1+n_2}$ вариантов.

[Null]

$C_2\cdot2^2=8$, т.е. $[()]$, $(())$, $([\;])$, $[[\;]]$, $[\;]()$, $()[\;]$, $()()$,$[\;][\;]$.

[Утундрий]

Похоже на то. Берём все расстановки одинаковых скобок, а потом начинаем раскрашивать их попарно в два цвета. Как раз множитель $2^n$ и появляется.

[F111mon]

Утундрий в сообщении #1668247 писал(а):

В этой теме $[()]$ и $([\;])$ — разные выражения.

а зачем они разные?
Скобки нужны, чтобы определить порядок выполнения операций. Иначе почему мы используем скобки, а не точки-тире или буквы латинского алфавита

[gris]

Насчёт зачем. Среди множества представлений 2025 в виде чего только не придумали попалось уже год как известное среди любителей нумерологии:
$(e^\pi +\pi^e)^2$

[mihaild]

F111mon в сообщении #1668382 писал(а):

а зачем они разные?

Математики не отвечают на вопрос "зачем".
Задача такая. Довольно стандартная.

[dgwuqtj]

F111mon в сообщении #1668382 писал(а):

а зачем они разные?

В математике и в программировании обычно используют кучу разных скобок: $(\,)\,[\,]\,\{\,\}\,\langle\,\rangle\,\lfloor\,\rfloor\,\lceil\,\rceil\ldots$. Так удобнее. Разумеется, они нужны не только для определения порядка операций.