Стремление длины отрезков к нулю и принцип Архимеда

[Gecko]

В теме topic142147.html рассматривается следование аксиомы непрерывности из принципа вложенных отрезков и принципа Архимеда.
Рассматривается случай, когда отрезок делится на два равных, затем один из них еще на два равных и т.д. до бесконечности. Сказано, что эти отрезки по длине стремятся к нулю. Не пойму, как этот факт вывести из принципа Архимеда.

[dgwuqtj]

Вы понимаете, что последовательность $2^n$ не ограничена сверху?

[Gecko]

Да, для $\forall\varepsilon>0 \ \exists N: \forall n \geqslant N \mapsto2^n > \dfrac{1}{\varepsilon}$, т.е. $\lim\limits_{n\to\infty}2^n= +\infty$

[dgwuqtj]

А теперь так же аккуратно сформулируйте, что означает, что длины отрезков из вашей последовательности стремятся к 0.

[Gecko]

Понятно, что, если длина начального отрезка равна $l$, то длины последующих можно выразить последовательностью $\left\lbrace a_n\right\rbrace$, где $a_n = \frac{l}{2^n}$.
При этом $\forall\varepsilon>0 \ \exists N: \forall n \geqslant N \mapsto\frac{l}{2^n}<\varepsilon$, т.е. $\lim\limits_{n\to0}a_n=0$.
Но не пойму, при чем здесь принцип Архимеда. Мне он известен в формулировке "Если фиксировать произвольное положительное число $h$, то для любого действительного числа $x$ найдется и притом единственное целое число $k$, такое, что $(k-1)h \leqslant x<kh$".
Хотя, если порассуждать...
Есть же следствие из принципа Архимеда: "Для любого действительного числа $x$ существует и при том единственное целое число $k$, такое, что $k \leqslant x<k+1$".
$2^n>\frac{l}{\varepsilon}$
$2^n > 1+n$ (неравенство Бернулли)
$n > \frac{l}{\varepsilon} - 1$
Таким образом, для действительного числа $\frac{l}{\varepsilon} - 1$ существует единственное целое число, такое, что $k \leqslant \frac{l}{\varepsilon} - 1<k+1$.
Ну т.е. если есть целое, то есть и натуральное число $N$, которое больше $\frac{l}{\varepsilon} - 1$.
И вообще в данном случае лучше использовать следующую формулировку принципа Архимеда: "Для любого действительного числа $x$ существует натуральное число $n>x$".
Т.е. смысл в том, чтобы доказать существование натурального $N$, такого, что $\forall n \geqslant N \mapsto\frac{l}{2^n}<\varepsilon$.
Вроде так.

[Null]

"Для любого действительного числа $x$ существует натуральное число $n>x$" и "Для любого действительного числа $x$ существует и при том единственное целое число $k$, такое, что $(k-1) \leqslant x<k$" равносильны с учетом других аксиом.

[dgwuqtj]

Как пример упорядоченного поля без аксиомы Архимеда есть $\mathbb R(t)$, где положительные рациональные функции — это те, которые положительны при $x \to +\infty$. Его даже можно пополнить в смысле Коши. И в нём натуральные числа ограничены сверху элементом $x$.