Что означает счетное объединение множеств?

[Апофеоз Здравого Смысла]

Я никогда не натыкался на расшифровку этой записи:
$\bigcup_{i=1}^{\infty} A_{n}$

$A_{n}$ это последовательность каких то там множеств.
Понятно что такое $\bigcup_{i=1}^{N} A_{n}$
А объединение до бесконечности, это что, какой то предел? Как он определяется?

[Таня Тайс]

Апофеоз Здравого Смысла в сообщении #166727 писал(а):

А объединение до бесконечности, это что, какой то предел?

Никакой это не предел, просто объединение бесконечного кол-ва множеств. Множеств бесконечно много, а мы их взяли и объединили и рассматриваем все сразу. Счетное объединение означает, что множество индексов биективно натуральным числам.

[ewert]

Апофеоз Здравого Смысла писал(а):

Я никогда не натыкался на расшифровку этой записи:
$\bigcup_{i=1}^{\infty} A_{n}$

$A_{n}$ это последовательность каких то там множеств.
Понятно что такое $\bigcup_{i=1}^{N} A_{n}$
А объединение до бесконечности, это что, какой то предел? Как он определяется?

Это на самом деле никакой не предел. По определению:

$x\in\bigcup_{i=1}^{\infty} A_{n}\qquad\Longleftrightarrow\qquad \exists n:\ x\in A_n.$$

[--mS--]

ewert писал(а):

$x\in\bigcup_{i=1}^{\infty} A_{n}\qquad\Longleftrightarrow\qquad \exists n:\ x\in A_n.$$

Даже хуже:
$x\in\bigcup_{i=1}^{\infty} A_{n}\qquad\Longleftrightarrow\qquad x\in A_n.$$

[ewert]

--mS-- писал(а):

ewert писал(а):

$x\in\bigcup_{i=1}^{\infty} A_{n}\qquad\Longleftrightarrow\qquad \exists n:\ x\in A_n.$$

Даже хуже:
$x\in\bigcup_{i=1}^{\infty} A_{n}\qquad\Longleftrightarrow\qquad x\in A_n.$$

вот это (пардон) воистину хуже. Ибо в правой части эн ничем не определён.

--------------------------------------------------
хотя двойной пардон. Я и впрямь не обратил внимания на рассогласованность индексов. Наверное, Вы именно это имели в виду?

[--mS--]

Как и в левой.

[Someone]

ewert, у Вас там опечатка. Должно быть

$$x\in\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}A_n\qquad\Longleftrightarrow\qquad\exists n(x\in A_n)\text{.}$$

[ewert]

это не у меня, я тупо скопипастил, а --ms-- -- вежливо обратила внимание

[TOTAL]

Все ответы неправильные.
Так как вопрос был про счетное объединение множеств, а не про объединение счетного числа множеств.

[ewert]

это (на мой, сермяжный вкус) -- одно и то же

[Таня Тайс]

TOTAL в сообщении #166753 писал(а):

Так как вопрос был про счетное объединение множеств, а не про объединение счетного числа множеств.
_________________

То, что Вы имеете в виду, называется объединение счётных множеств.

[Someone]

ewert в сообщении #166752 писал(а):

это не у меня

А, извините, наверх-то я не посмотрел.

TOTAL в сообщении #166753 писал(а):

Так как вопрос был про счетное объединение множеств, а не про объединение счетного числа множеств.

Формулой-то написано объединение счётного числа множеств.

[antbez]

Можно ещё добавить, что это- нужное понятие для определения сигма-алгебры и аксиоматики теории вероятности

[Апофеоз Здравого Смысла]

antbez писал(а):

Можно ещё добавить, что это- нужное понятие для определения сигма-алгебры и аксиоматики теории вероятности

Да, но мне к сожалению нигде не удалось найти что именно обозначает этот набор символов. Хотя все авторы в своих учебниках активно его используют. Видимо подразумевается, что это очевидно. А у меня вызвала сомнение эта очевидность


Спасибо всем за ответы.

[Brukvalub]

А вот так понятно?:

\[ \bigcup\limits_{\alpha \in A} {E_\alpha } = \left\{ {x:\exists \alpha \in A:\;x \in E_\alpha } \right\} \]