Неравенства 6-й степени

[Rak so dna]

Для действительных $a,b,c$ доказать:

\begin{align*} &1.~~2\left(a^6+b^6+c^6 \right) + abc\left(a^3+b^3+c^3 \right)\geq 3 \left(a^5b+b^5c+c^5a \right) \\\\ &2.~~\sum\limits_{cyc}{a(4a-2b-c)\left(a^2-ab-b^2-ac+2bc\right)^2}\geq 0 \\\\ &3.~~8\left(a^4\,b^2+b^4\,c^2+c^4\,a^2\right) + a^2\,b^4+b^2\,c^4+c^2\,a^4 + 54\,a^2\,b^2\,c^2\geq 27\,a\,b\,c\,\left(a^2\,c+b^2\,a+c^2\,b\right) \\\\ &4.~~16\left(a^2+b^2+c^2\right)^3\geq 9\sum\limits_{cyc}\left(a^{3}+3b^{2}c\right)^{2}+\frac{27}{14}\left[\sum\limits_{cyc}a\left(a-b\right)(a-2c)\right]^{2} \end{align*}

В первом случае равенство достигается в одной точке, во втором — в 4 точках, в третьем — в 7 точках, в четвёртом — в 10 точках.
Существует ли неотрицательный, неприводимый однородный многочлен шестой степени трёх переменных с большим числом точек равенства?

[DariaRychenkova]

Например, можно рассмотреть многочлены вида:

$$[ P(a, b, c) = (a^2 + b^2 + c^2 - 1)^3, ]$$

так как этот многочлен равен нулю, когда

$$( a^2 + b^2 + c^2 = 1 )$$

, что задает сферу, и, следовательно, у такого многочлена будет бесконечно много точек равенства.

[Deathrose]

DariaRychenkova

(Оффтоп)

DariaRychenkova в сообщении #1658851 писал(а):

Давайте рассмотрим каждое неравенство по отдельности.

$$[ 2\left(a^6+b^6+c^6\right)+a b c\left(a^3+b^3+c^3\right) \geq 3\left(a^5 b+b^5 c+c^5 a\right) ]$$

Используем неравенство Мiнковского. Оно даёт:

$$[ \left(a^3 + b^3 + c^3\right)^2 \leq (a^2 + b^2 + c^2)(a^4 + b^4 + c^4) ]$$

А также применим метод Лагранжа или раздельное рассмотрение случаев

$$( a=b=c )$$

и других его вариантов.

Совершим подстановки и покажем, что обе стороны неравенства действительно верны для произвольных

$$( a, b, c \geq 0 )$$

.

$$[ \sum_{cyc} a(4a - 2b - c)\left(a^2 - ab - b^2 - ac + 2bc\right)^2 \geq 0 ]$$

Заметим, что левую часть можно интерпретировать через квадрат и неотрицательные коэффициенты. Произведём подстановку:

$$[ x = (a^2 - ab - b^2 - ac + 2bc) ]$$

Поскольку умножаем на

$$( a(4a - 2b - c) )$$

, требуем, чтобы также соблюдались условия для неотрицательности. После анализа можно сказать, что это всегда будет положительным.

$$[ 8\left(a^4 b^2 + b^4 c^2 + c^4 a^2\right) + a^2 b^4 + b^2 c^4 + c^2 a^4 + 54 a^2 b^2 c^2 \geq 27 a b c\left(a^2 c + b^2 a + c^2 b\right) ]$$

Используем метод оценок. Сначала приведём к желаемым формы для некоторых частных случаев, затем применим метод математической индукции для доказательства.

$$[ 16\left(a^2 + b^2 + c^2\right)^3 \geq 9 \sum_{cyc}\left(a^3 + 3b^2c\right)^2 + \frac{27}{14}\left[\sum_{cyc} a(a - b)(a - 2c)\right]^2 ]$$

Снова используем симметричные суммы. Левую часть выражения слева преобразуем - находим равенства. Затем находим и анализируем каждую циклическую сумму для выравнивания и объединения коэффициентов.

Во многих из этих неравенств мы можем использовать симметрию, свойства неотрицательности, а также симметричные функции для доказательства неравенств.

-- 17.10.2024, 17:57 --

Для рассмотрения условия на количество точек равенства, возможно, стоит проверить несколько основных примеров. Например, можно рассмотреть многочлены вида:

$$[ P(a, b, c) = (a^2 + b^2 + c^2 - 1)^3, ]$$

так как этот многочлен равен нулю, когда

$$( a^2 + b^2 + c^2 = 1 )$$

, что задает сферу, и, следовательно, у такого многочлена будет бесконечно много точек равенства.

Вы вообще читаете то, что пишете сюда?

-- 17.10.2024, 17:18 --

Да, разумеется, ежу понятно, кто на самом деле писал эти строки. Но какой смысл нести это сюда, причем даже не то что не проверив, а даже не прочитав текст?

[nnosipov]

DariaRychenkova
Вам не стыдно писать всякую ерунду?

[wrest]

(О нейроидентичности)

Deathrose в сообщении #1658854 писал(а):

Да, разумеется, ежу понятно, кто на самом деле писал эти строки.

А кто? Вы их уже узнаёте, можете отличить Алису, GigaChat, ChatGPT по стилю степени глупости?

[DariaRychenkova]

nnosipov


Извините, больше не повторится

То, что осталось сейчас - ведь правда?

[Null]

(Оффтоп)

DariaRychenkova, ваш $P$ - приводимый и не является неотрицательным.

[Rak so dna]

Rak so dna в сообщении #1656787 писал(а):

Для действительных $a,b,c$ доказать:

\begin{align*} &1.~~2\left(a^6+b^6+c^6 \right) + abc\left(a^3+b^3+c^3 \right)\geq 3 \left(a^5b+b^5c+c^5a \right) \\\\ &2.~~\sum\limits_{cyc}{a(4a-2b-c)\left(a^2-ab-b^2-ac+2bc\right)^2}\geq 0 \\\\ &3.~~8\left(a^4\,b^2+b^4\,c^2+c^4\,a^2\right) + a^2\,b^4+b^2\,c^4+c^2\,a^4 + 54\,a^2\,b^2\,c^2\geq 27\,a\,b\,c\,\left(a^2\,c+b^2\,a+c^2\,b\right) \\\\ &4.~~16\left(a^2+b^2+c^2\right)^3\geq 9\sum\limits_{cyc}\left(a^{3}+3b^{2}c\right)^{2}+\frac{27}{14}\left[\sum\limits_{cyc}a\left(a-b\right)(a-2c)\right]^{2} \end{align*}

\footnotesize\begin{align*} &2\left(a^6+b^6+c^6 \right) + abc\left(a^3+b^3+c^3 \right)-3 \left(a^5b+b^5c+c^5a \right) \\ &=\frac{1}{21}\sum\limits_{cyc}{\Bigl(2bc^2+4b^2c-abc-a^2c-5b^3-2ab^2+a^2b+2a^3 \Bigr)^2} \\ &+\frac{1}{28}\left[\sum\limits_{cyc}{\left(a^3-6ab^2+3ac^2+2abc\right)}\right]^2+\frac{1}{84}\left[\sum\limits_{cyc}{\left(7a^3-2ab^2-9ac^2+4abc\right)}\right]^2 \end{align*}

(maxima code)

f(t) := 2*(a^6+b^6+c^6 ) + a*b*c*(a^3+b^3+c^3 )-3*(a^5*b+b^5*c+c^5*a ) ;

r(t) :=
1/21*(2*b*c^2+4*b^2*c-a*b*c-a^2*c-5*b^3-2*a*b^2+a^2*b+2*a^3)^2 +
1/21*(2*c*a^2+4*c^2*a-a*b*c-b^2*a-5*c^3-2*b*c^2+b^2*c+2*b^3)^2 +
1/21*(2*a*b^2+4*a^2*b-a*b*c-c^2*b-5*a^3-2*c*a^2+c^2*a+2*c^3)^2 +
1/28*(a^3+b^3+c^3-6*(a*b^2+b*c^2+c*a^2)+3*(a*c^2+b*a^2+c*b^2)+6*a*b*c)^2 +
1/84*(7*(a^3+b^3+c^3)-2*(a*b^2+b*c^2+c*a^2)-9*(a*c^2+b*a^2+c*b^2)+12*a*b*c)^2 ;

rat(f(t)-r(t));

\scriptsize\begin{align*} &\sum\limits_{cyc}{\left(a-b\right)^2}\cdot\sum\limits_{cyc}{a(4a-2b-c)(a^2-ab-b^2-ac+2bc)^2} \\ &=\frac{1}{9}\sum\limits_{cyc}{\Bigl(a^4+3ca^3-4ba^3-4c^2a^2+bca^2+2b^2a^2-6c^3a+26bc^2a-27b^2ca+8b^3a+4c^4-11bc^3+2b^2c^2+10b^3c-5b^4\Bigr)^2} \\ &+\frac{1}{66}\sum\limits_{cyc}{\Bigl(a^4+7ca^3-9ba^3-7c^2a^2-5bca^2+12b^2a^2-6c^3a+28bc^2a-21b^2ca+b^3a+5c^4-16bc^3+15b^2c^2-7b^3c+2b^4\Bigr)^2} \\ &+\frac{1}{66}\sum\limits_{cyc}{\left(a-b\right)^2}\cdot\left[\sum\limits_{cyc}{\Bigl(a^3-2ab^2-ac^2+2abc\Bigr)}\right]^2+\frac{2}{99}\left[\sum\limits_{cyc}{\Bigl(9a^4-8a^3b-20ab^3+19a^2bc\Bigr)}\right]^2 \\ &+\frac{10}{33}\left[\sum\limits_{cyc}{\Bigl(2a^4-5a^3b-2ab^3+4a^2b^2+a^2bc\Bigr)}\right]^2 \end{align*}

(maxima code)

f(t) :=
((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2)*(
a*(4*a-2*b-c)*(a^2-a*b-b^2-a*c+2*b*c)^2
+ b*(4*b-2*c-a)*(b^2-b*c-c^2-b*a+2*c*a)^2
+ c*(4*c-2*a-b)*(c^2-c*a-a^2-c*b+2*a*b)^2) ;

r(t) :=
1/9*(
(c^4+3*b*c^3-4*a*c^3-4*b^2*c^2+a*b*c^2+2*a^2*c^2-6*b^3*c+26*a*b^2*c-27*a^2*b*c+8*a^3*c+4*b^4-11*a*b^3+2*a^2*b^2+10*a^3*b-5*a^4)^2
+ (a^4+3*c*a^3-4*b*a^3-4*c^2*a^2+b*c*a^2+2*b^2*a^2-6*c^3*a+26*b*c^2*a-27*b^2*c*a+8*b^3*a+4*c^4-11*b*c^3+2*b^2*c^2+10*b^3*c-5*b^4)^2
+ (b^4+3*a*b^3-4*c*b^3-4*a^2*b^2+c*a*b^2+2*c^2*b^2-6*a^3*b+26*c*a^2*b-27*c^2*a*b+8*c^3*b+4*a^4-11*c*a^3+2*c^2*a^2+10*c^3*a-5*c^4)^2
)
+ 1/66*(
(c^4+7*b*c^3-9*a*c^3-7*b^2*c^2-5*a*b*c^2+12*a^2*c^2-6*b^3*c+28*a*b^2*c-21*a^2*b*c+a^3*c+5*b^4-16*a*b^3+15*a^2*b^2-7*a^3*b+2*a^4)^2
+ (a^4+7*c*a^3-9*b*a^3-7*c^2*a^2-5*b*c*a^2+12*b^2*a^2-6*c^3*a+28*b*c^2*a-21*b^2*c*a+b^3*a+5*c^4-16*b*c^3+15*b^2*c^2-7*b^3*c+2*b^4)^2
+ (b^4+7*a*b^3-9*c*b^3-7*a^2*b^2-5*c*a*b^2+12*c^2*b^2-6*a^3*b+28*c*a^2*b-21*c^2*a*b+c^3*b+5*a^4-16*c*a^3+15*c^2*a^2-7*c^3*a+2*c^4)^2
)
+ 1/66*((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2)*(a^3+b^3+c^3-2*(a*b^2+b*c^2+c*a^2)-(a*c^2+b*a^2+c*b^2)+6*a*b*c)^2
+ 2/99*(9*(a^4+b^4+c^4)-8*(a^3*b+b^3*c+c^3*a)-20*(a*b^3+b*c^3+c*a^3)+19*a*b*c*(a+b+c))^2
+ 10/33*(2*(a^4+b^4+c^4)-5*(a^3*b+b^3*c+c^3*a)-2*(a*b^3+b*c^3+c*a^3)+4*(a^2*b^2+b^2*c^2+c^2*a^2)+a*b*c*(a+b+c))^2 ;

rat( f(t) - r(t) );

\footnotesize\begin{align*} &\left(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\right)\Bigl[8\left(a^4b^2+b^4c^2+c^4a^2\right) + a^2b^4+b^2c^4+c^2a^4 + 54a^2b^2c^2 - 27abc\left(a^2c+b^2a+c^2b\right)\Bigr] \\ &=\frac{1}{6}\sum\limits_{cyc}{\Bigl(2ac^3-4b^2c^2+6abc^2-a^2c^2-4b^3c+14ab^2c-20a^2bc+2a^3c-2ab^3+5a^2b^2+2a^3b\Bigr)^2 } \\ &+\frac{1}{51}\left[\sum\limits_{cyc}{\left(5ab^3-24ac^3+21a^2b^2-2abc^2\right)}\right]^2+\frac{3}{17}\left[\sum\limits_{cyc}{\left(ab^3+2ac^3-6a^2b^2+3abc^2\right)}\right]^2 \end{align*}

(maxima code)

f(t) := 
((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2)*(8*(a^4*b^2+b^4*c^2+c^4*a^2) + a^2*b^4+b^2*c^4+c^2*a^4 + 54*a^2*b^2*c^2 - 27*a*b*c*(a^2*c+b^2*a+c^2*b)) ;
h0(a,b,c) := (2*a*c^3-4*b^2*c^2+6*a*b*c^2-a^2*c^2-4*b^3*c+14*a*b^2*c-20*a^2*b*c+2*a^3*c-2*a*b^3+5*a^2*b^2+2*a^3*b)^2 ;
r(t) :=
1/6*(h0(a,b,c)+h0(b,c,a)+h0(c,a,b))
+ 1/51*(5*(a*b^3+b*c^3+c*a^3)-24*(a*c^3+b*a^3+c*b^3)+21*(a^2*b^2+b^2*c^2+c^2*a^2)-2*(a*b*c^2+a*b^2*c+a^2*b*c))^2
+ 3/17*(a*b^3+b*c^3+c*a^3+2*(a*c^3+b*a^3+c*b^3)-6*(a^2*b^2+b^2*c^2+c^2*a^2)+3*(a*b*c^2+a*b^2*c+a^2*b*c))^2 ;
rat(f(t) - r(t));

\scriptsize\begin{align*} &14\sum\limits_{cyc}{\left(a-b\right) ^2}\cdot\left[ 16\left(a^2+b^2+c^2\right)^3-9\sum\limits_{cyc}{\left(a^3+3b^2c\right)^2}-\frac{27}{14}\left(\sum\limits_{cyc}{a\left(a-b\right)(a-2c)}\right)^2 \right] \\ &=\frac{1}{95}\sum\limits_{cyc}{\left(\begin{array}{c} 79c^4+46bc^3+21b^2c^2-58abc^2-263a^2c^2+19b^3c-273ab^2c\\ +331a^2bc+69a^3c+2b^4-115ab^3+242a^2b^2-19a^3b-81a^4 \end{array}\right)^2}+\frac{4}{5}\left[ \sum\limits_{cyc}{\bigl( 3a^4-14a^3b+25a^3c-9a^2b^2-5a^2bc \bigr)} \right] ^2 \end{align*}

(maxima code)

f(t) :=
((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2)*(224*(a^2+b^2+c^2)^3
-126*((a^3+3*b^2*c)^2+(b^3+3*c^2*a)^2+(c^3+3*a^2*b)^2)
-27*( a*(a-b)*(a-2*c)+b*(b-c)*(b-2*a)+c*(c-a)*(c-2*b) )^2) ;

h0(a,b,c) :=
(79*c^4+46*b*c^3+21*b^2*c^2-58*a*b*c^2-263*a^2*c^2+19*b^3*c-273*a*b^2*c+331*a^2*b*c+69*a^3*c+2*b^4-115*a*b^3+242*a^2*b^2-19*a^3*b-81*a^4)^2 ;

r(t) :=
4/5*(3*(a^4+b^4+c^4)-14*(a^3*b+b^3*c+c^3*a)+25*(a*b^3+b*c^3+c*a^3)-9*(a^2*b^2+b^2*c^2+c^2*a^2)-5*a*b*c*(a+b+c))^2
+ 1/95*(h0(a,b,c)+h0(b,c,a)+h0(c,a,b)) ;

rat(f(t) - r(t)) ;

-- 25.12.2024, 13:08 --

Вот ещё серия зубодробительных неравенств шестой степени:
Для $a,b,c\geq0$ доказать:

\begin{align*} &1.~~2\prod\limits_{cyc}{\left(a+b-2c\right)^2}+5abc\sum\limits_{cyc}{(2a+7b-4c)(c-a)(c-b)}\geq 0 \\\\ &2.~~8\prod\limits_{cyc}{\left(a+b-2c\right)^2}+27abc\sum\limits_{cyc}{(2a+11b-4c)(c-a)(c-b)}\geq 0 \\\\ &3.~~\left(\sum\limits_{cyc}{\left(a-b\right)^2(a-c)}\right)^2\geq 8abc\sum\limits_{cyc}{a(a-4b-2c)(a-c)} \\\\ &4.~~4\left(\sum\limits_{cyc}{\left(a-b\right)^2(a-c)}\right)^2\geq abc\sum\limits_{cyc}{a(7a-19b)(a-c)} \end{align*}

[nnosipov]

Rak so dna
Реально впечатляют сами тождества. Интересно, а в скольких точках достигается равенство? Здесь есть какие-то рекорды или неожиданные ситуации?

[Rak so dna]

nnosipov в сообщении #1667075 писал(а):

Реально впечатляют сами тождества. Интересно, а в скольких точках достигается равенство? Здесь есть какие-то рекорды или неожиданные ситуации?

Спасибо.
Для циклических многочленов шестой степени неотрицательных на $\mathbb{R}$, я считаю, что больше десяти точек равентсва маловероятно. Так, например, для

Rak so dna в сообщении #1656787 писал(а):

\begin{align*} &4.~~16\left(a^2+b^2+c^2\right)^3\geq 9\sum\limits_{cyc}\left(a^{3}+3b^{2}c\right)^{2}+\frac{27}{14}\left[\sum\limits_{cyc}a\left(a-b\right)(a-2c)\right]^{2} \end{align*}

равенство достигается в десяти точках:
$\sim(1,1,1)$ и $\sim{cycl}(a,b,c),$ где $a>b>c$ — корни уравнения $x^{3}-7x^{2}+14x-7$ или $7x^{3}-21x^{2}-252x+27\left(7\pm 5\sqrt{14}\right).$

При его разложении в сумму квадратов, даже после домножения на $\sum\limits_{cyc}{\left(a-b\right)^2}$ остаётся слишком мало "места для манёвров". Так, например, единственный циклический многочлен четвертой степени с целыми коэффициентами и с такими корнями — это:

$\sum\limits_{cyc}{\bigl( 3a^4-14a^3b+25a^3c-9a^2b^2-5a^2bc \bigr)}$, что приводит к параметризации, в некотором смысле, единственной:

\scriptsize\begin{align*} &5\bigl(337n^2-83nm+19m^2\bigr)\sum\limits_{cyc}{\left( a-b \right) ^2}\Bigl( LHS-RHS \Bigr)=4\bigl(337n^2-83nm+19m^2\bigr)\left[ \sum\limits_{cyc}{\bigl( 3a^4-14a^3b+25a^3c-9a^2b^2-5a^2bc \bigr)} \right] ^2+ \\ &+\sum\limits_{cyc}{\left(\begin{array}{c}79mc^4+ 79nac^3-23(21n-2m)bc^3 + (115n-263m)a^2c^2-(1129n+58m)abc^2\\ +(1004n+21m)b^2c^2+ 23(8n+3m)a^3c-(276n-331m)a^2bc+(1405n-273m)ab^2c-(81n-19m)b^3c\\ + (337n-81m)a^4+(2n-19m)a^3b-(1119n-242m)a^2b^2+23(13n-5m)ab^3 - (337n-2m)b^4\end{array} \right)^2} \end{align*}

(maxima code)

f(t) :=
5*(337*n^2-83*n*m+19*m^2)*((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2)*(224*(a^2+b^2+c^2)^3
-126*((a^3+3*b^2*c)^2+(b^3+3*c^2*a)^2+(c^3+3*a^2*b)^2)
-27*( a*(a-b)*(a-2*c)+b*(b-c)*(b-2*a)+c*(c-a)*(c-2*b) )^2) ;

h0(a,b,c) :=
(79*m*c^4+ 79*n*a*c^3-23*(21*n-2*m)*b*c^3 + (115*n-263*m)*a^2*c^2-(1129*n+58*m)*a*b*c^2+(1004*n+21*m)*b^2*c^2
+ 23*(8*n+3*m)*a^3*c-(276*n-331*m)*a^2*b*c+(1405*n-273*m)*a*b^2*c-(81*n-19*m)*b^3*c
+ (337*n-81*m)*a^4+(2*n-19*m)*a^3*b-(1119*n-242*m)*a^2*b^2+23*(13*n-5*m)*a*b^3 - (337*n-2*m)*b^4 )^2 ;

r(t) :=
4*(337*n^2-83*n*m+19*m^2)*(3*(a^4+b^4+c^4)-14*(a^3*b+b^3*c+c^3*a)+25*(a*b^3+b*c^3+c*a^3)-9*(a^2*b^2+b^2*c^2+c^2*a^2)-5*a*b*c*(a+b+c))^2
+ h0(a,b,c)+h0(b,c,a)+h0(c,a,b) ;

rat(f(t) - r(t)) ;

Это (естественно на уровне рукомахательства) позволяет предположить, что если неотрицательный циклический многочлен шестой степени с целыми коэффициентами с более чем десятью корнями и существует, то для его разложения в сумму квадратов, необходимо использовать множитель степени $4$ или выше. Но практика показывает, что множителя $\sum\limits_{cyc}{\left(a-b\right)^2}$ всегда достаточно, причём и для более высоких степеней. Но, конечно, мне бы хотелось что бы такой многочлен нашёлся — было бы очень любопытно на него взглянуть.


Что касается циклических многочленов шестой степени неотрицательных для $a,b,c\geq0$, то тут всё сложно. Например, чтобы разложить первый из предложенных:
$2\prod\limits_{cyc}{\left(a+b-2c\right)^2}+5abc\sum\limits_{cyc}{(2a+7b-4c)(c-a)(c-b)}\geq 0$,
который также имеет десять точек равенства (причём целых!), второй степени множителя уже недостаточно. Один из лучших китайских решателей nexu@AoPS нашёл для него вот такое представление:

$\sum\limits_{cyc}{x\left( y-z \right) ^2}\cdot LHS =$

$$ {{\sum\limits_{cyc}{\left[ \begin{array}{c} \dfrac{5y\left( \begin{array}{c} 21765070x^3y-30471098x^3z-54412675x^2y^2+124008125x^2yz-\\ 4326627x^2z^2+21765070xy^3+90652609xy^2z-363318347xyz^2+\\ 146481106xz^3-63826614y^3z+127679615y^2z^2+15890686yz^3-31886920z^4\\ \end{array} \right) ^2}{1017399247353216}+\\ \dfrac{y\left( \begin{array}{c} 61152x^4-139618x^3y-116410x^3z+27997x^2y^2+316765x^2yz-\\ 25395x^2z^2+13262xy^3-122335xy^2z-21595xyz^2+\\ 15410xz^3-5142y^3z+36463y^2z^2-64162yz^3+23608z^4\\ \end{array} \right) ^2}{467445888}+\\ \dfrac{72418315yz^2(2y-z)^2(3x-y-2z)^2(x+y-2z)^2}{639893058}\\ \end{array} \right]}}} $$

я же, отвозившись с ним немало времени, получил:

\scriptsize\begin{align*} &\left(a+b+c\right)^4\cdot LHS = P+\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca}\cdot Q \\ &+(a+b+c)\sum\limits_{cyc}{c\Bigl(2bc^3-4ac^3-b^2c^2+6abc^2+4a^2c^2-8b^3c+2ab^2c-24a^2bc+11a^3c+4b^4-2ab^3+8a^2b^2+8a^3b-6a^4\Bigr)^2} \\ &\text{где} \\ &Q=\frac{1}{36}\sum\limits_{cyc}{\left( \begin{array}{c} 4c^5-32bc^4+26ac^4+23b^2c^3+81abc^3-120a^2c^3+64b^3c^2-133ab^2c^2+8a^2bc^2+105a^3c^2\\ -26b^4c+39ab^3c-7a^2b^2c-48a^3bc+6a^4c-4b^5+2ab^4+24a^2b^3-44a^3b^2+48a^4b-16a^5 \end{array}\right)^2} \\ &+\frac{1}{10620}\sum\limits_{cyc}{\left( \begin{array}{c} 148c^5-40bc^4-506ac^4-421b^2c^3+423abc^3+462a^2c^3-466b^3c^2+2307ab^2c^2-1374a^2bc^2-63a^3c^2\\ +646b^4c-1281ab^3c-933a^2b^2c+858a^3bc-46a^4c-156b^5+86ab^4+484a^2b^3+4a^3b^2-140a^4b+8a^5 \end{array}\right)^2} \\ &+\frac{7}{169920}\left(\sum\limits_{cyc}{\bigl(148a^5-572a^4c+68ac^4+1091a^2b^3-1149a^3b^2+948a^3bc-534a^2b^2c\bigr) }\right)^2 \\ &+\frac{9691}{56640}\left(a+b-2c\right)^2\left(b+c-2a\right)^2\left(c+a-2b\right)^2\Bigl(2\left(a^2+b^2+c^2\right)-3\left(ab+bc+ca\right)\Bigr)^2 \\\\ &\text{и} \\ &P=\frac{1}{602}\sum\limits_{cyc}{\left( \begin{array}{c} 4c^5+8bc^4+102ac^4-121b^2c^3+175abc^3-278a^2c^3+238b^3c^2-79ab^2c^2-253a^2bc^2+93a^3c^2\\ -130b^4c+73ab^3c+332a^2b^2c-248a^3bc+58a^4c+20b^5-66ab^4+28a^2b^3+40a^3b^2+28a^4b-24a^5 \end{array}\right)^2} \\ &+\frac{1}{1183562100}\sum\limits_{cyc}{\left( \begin{array}{c} 67852c^5-178092bc^4-67924ac^4+18695b^2c^3+274042abc^3-154313a^2c^3+148110b^3c^2\\ -271501ab^2c^2+401813a^2bc^2-27188a^3c^2-22292b^4c+28882ab^3c-130312a^2b^2c\\ -302924a^3bc+153710a^4c-19208b^5+24382ab^4+8493a^2b^3+6203a^3b^2+90216a^4b-48644a^5 \end{array}\right)^2} \\ &+\frac{1}{79312343861438100}\sum\limits_{cyc}{\left( \begin{array}{c} 26140464c^5-210841334bc^4+44813582ac^4+325685565b^2c^3+149882679abc^3-148187211a^2c^3\\ [phone]b^3c^2-940241322ab^2c^2+846585606a^2bc^2-171236636a^3c^2-70556494b^4c\\ [phone]ab^3c+93655716a^2b^2c-473446908a^3bc+172811500a^4c+2550464b^5\\ [phone]ab^4-154448929a^2b^3+130676086a^3b^2+25742912a^4b-28690928a^5 \end{array}\right)^2} \\ &+\frac{1222675141}{1087193625144556793220}\cdot \\ &\left(\sum\limits_{cyc}{\bigl(337116a^5-1256234a^4c-31804ac^4+2181712a^2b^3-2103793a^3b^2+2299386a^3bc-1426383a^2b^2c\bigr) }\right)^2 \\ &+\frac{782489}{2167163372381176332}\left(\sum\limits_{cyc}{\bigl(110804a^5-455538a^4c+160092ac^4+994226a^2b^3-1160479a^3b^2+627858a^3bc-276963a^2b^2c\bigr) }\right)^2 \end{align*}

(maxima code)

f(t) := 2*(b+c-2*a)^2*(c+a-2*b)^2*(a+b-2*c)^2 + 5*a*b*c*((2*b+7*c-4*a)*(a-b)*(a-c)+(2*c+7*a-4*b)*(b-c)*(b-a)+(2*a+7*b-4*c)*(c-a)*(c-b)) ;

h5(a,b,c) := (4*c^5-32*b*c^4+26*a*c^4+23*b^2*c^3+81*a*b*c^3-120*a^2*c^3+64*b^3*c^2-133*a*b^2*c^2+8*a^2*b*c^2+105*a^3*c^2
-26*b^4*c+39*a*b^3*c-7*a^2*b^2*c-48*a^3*b*c+6*a^4*c-4*b^5+2*a*b^4+24*a^2*b^3-44*a^3*b^2+48*a^4*b-16*a^5)^2 ;

h6(a,b,c) :=
(148*c^5-40*b*c^4-506*a*c^4-421*b^2*c^3+423*a*b*c^3+462*a^2*c^3-466*b^3*c^2+2307*a*b^2*c^2-1374*a^2*b*c^2-63*a^3*c^2+
646*b^4*c-1281*a*b^3*c-933*a^2*b^2*c+858*a^3*b*c-46*a^4*c-156*b^5+86*a*b^4+484*a^2*b^3+4*a^3*b^2-140*a^4*b+8*a^5)^2 ;

Q(t) :=

1/36*(h5(a,b,c)+h5(b,c,a)+h5(c,a,b))

+ 1/10620*(h6(a,b,c)+h6(b,c,a)+h6(c,a,b))

+ 7/169920*(148*(a^5+b^5+c^5)-572*(a^4*c+b^4*a+c^4*b)+68*(a*c^4+b*a^4+c*b^4)+1091*(a^2*b^3+b^2*c^3+c^2*a^3)
-1149*(a^3*b^2+b^3*c^2+c^3*a^2)+948*a*b*c*(a^2+b^2+c^2)-534*a*b*c*(a*b+b*c+c*a))^2

+ 9691/56640*(a+b-2*c)^2*(b+c-2*a)^2*(c+a-2*b)^2*(2*(a^2+b^2+c^2)-3*(a*b+b*c+c*a))^2 ;


h0(a,b,c) :=
(4*c^5+8*b*c^4+102*a*c^4-121*b^2*c^3+175*a*b*c^3-278*a^2*c^3+238*b^3*c^2-79*a*b^2*c^2-253*a^2*b*c^2+
93*a^3*c^2-130*b^4*c+73*a*b^3*c+332*a^2*b^2*c-248*a^3*b*c+58*a^4*c+20*b^5-66*a*b^4+28*a^2*b^3+40*a^3*b^2+28*a^4*b-24*a^5)^2 ;

h1(a,b,c) :=
(67852*c^5-178092*b*c^4-67924*a*c^4+18695*b^2*c^3+274042*a*b*c^3-154313*a^2*c^3+148110*b^3*c^2-271501*a*b^2*c^2+
401813*a^2*b*c^2-27188*a^3*c^2-22292*b^4*c+28882*a*b^3*c-130312*a^2*b^2*c-302924*a^3*b*c+153710*a^4*c-19208*b^5+24382*a*b^4+
8493*a^2*b^3+6203*a^3*b^2+90216*a^4*b-48644*a^5)^2 ;

h2(a,b,c) :=
(26140464*c^5-210841334*b*c^4+44813582*a*c^4+325685565*b^2*c^3+149882679*a*b*c^3-148187211*a^2*c^3+17511125*b^3*c^2-940241322*a*b^2*c^2+
846585606*a^2*b*c^2-171236636*a^3*c^2-70556494*b^4*c+323564229*a*b^3*c+93655716*a^2*b^2*c-473446908*a^3*b*c+172811500*a^4*c+2550464*b^5+
38029834*a*b^4-154448929*a^2*b^3+130676086*a^3*b^2+25742912*a^4*b-28690928*a^5)^2 ;

h3(a,b,c) :=
(337116*(a^5+b^5+c^5)-1256234*(a^4*c+b^4*a+c^4*b)-31804*(a*c^4+b*a^4+c*b^4)+2181712*(a^2*b^3+b^2*c^3+c^2*a^3)
-2103793*(a^3*b^2+b^3*c^2+c^3*a^2)+2299386*a*b*c*(a^2+b^2+c^2)-1426383*a*b*c*(a*b+b*c+c*a))^2 ;

h4(a,b,c) :=
(110804*(a^5+b^5+c^5)-455538*(a^4*c+b^4*a+c^4*b)+160092*(a*c^4+b*a^4+c*b^4)+994226*(a^2*b^3+b^2*c^3+c^2*a^3)
-1160479*(a^3*b^2+b^3*c^2+c^3*a^2)+627858*a*b*c*(a^2+b^2+c^2)-276963*a*b*c*(a*b+b*c+c*a))^2 ;

P(t) :=

1/602*(h0(a,b,c)+h0(b,c,a)+h0(c,a,b))

+ 1/1183562100*(h1(a,b,c)+h1(b,c,a)+h1(c,a,b))

+ 1/79312343861438100*(h2(a,b,c)+h2(b,c,a)+h2(c,a,b))

+ 1222675141/1087193625144556793220*h3(a,b,c)

+ 782489/2167163372381176332*h4(a,b,c) ;

h(a,b,c) :=
c*(2*b*c^3-4*a*c^3-b^2*c^2+6*a*b*c^2+4*a^2*c^2-8*b^3*c+2*a*b^2*c-24*a^2*b*c+11*a^3*c+4*b^4-2*a*b^3+8*a^2*b^2+8*a^3*b-6*a^4)^2 ;

r(t) := (a+b+c)*(h(a,b,c)+h(b,c,a)+h(c,a,b)) + (a*b+b*c+c*a)/(a^2+b^2+c^2-a*b-b*c-c*a)*Q(t) + P(t) ;

rat( (a+b+c)^4*f(t) - r(t) );

далее, тот же, nexu@AoPS несколько улучшил моё разложение многочлена $P$. Он представил $\sum\limits_{cyc}{\left(x-y\right)^2}\cdot P$ в виде суммы шести квадратов циклических многочленов с не более чем шестизначными коэффициентами. Что, конечно, лучше чем наши изначальные девятизначные коэффициенты, но всё равно, я глубоко убеждён, что существует красивое разложение начального многочлена с не более чем $3$-х, $4$-х значными коэффициентами. Ну и, понятное дело, существование подобных многочленов с более чем десятью точками равенства нулю вполне ожидаемо, хотя примеров я и не встречал.