Что такое бесконечность

[Stratim]

Ende
Выделено из темы «Целостное и непротиворечивое представление всей математики»

Кстати, подскажите - бесконечность это что такое в современной математике, это число или как?

[dgwuqtj]

Stratim в сообщении #1666622 писал(а):

бесконечность это что такое в современной математике, это число или как?

Не число. Зато есть ординальные числа типа $\omega^2 + 17$, кардинальные типа $\mathfrak c$ и $p$-адические типа $\ldots111_2$. Это всё в ваш "принцип матрёшки" не вписывается.

[Stratim]

dgwuqtj

Если бесконечность не число, то что тогда? С точки зрения классификации куда её помещать?

У Вас слишком примитивное понимание матрешки, всего лишь как подмножества, понятие-то все же используется другое. В математике его нет... может быть пока.

[мат-ламер]

Stratim в сообщении #1666622 писал(а):

Кстати, подскажите - бесконечность это что такое в современной математике,

Насчёт бесконечности у Эйнштейна была интересная мысль .

[dgwuqtj]

Stratim в сообщении #1666626 писал(а):

С точки зрения классификации куда её помещать?

Матанализ, геометрия или дискретная математика. Смотря в каком контексте.

[drzewo]

Stratim в сообщении #1666622 писал(а):

Кстати, подскажите - бесконечность это что такое в современной математике, это число или как?

Может Вам немного умерить притязания, и изучить для начала понятие предела последовательности и в частности, что означает $x_n\to\infty$?

[Anton_Peplov]

Начнем с того, что в математике нет понятия "число".

Есть понятия "комплексное число", "кардинальное число", "ординальное число", "$p$-адическое число". Нет понятия "число", которое все их объединяет. Такое понятие было бы просто бесполезным, потому что у всего вышеперечисленного слишком мало общих хороших свойств.

Далее, общего на всю математику понятия бесконечности тоже не существует.

Кардинальные и ординальные числа бывают как конечными (тогда это просто натуральные числа), так и бесконечными. Бывают бесконечные числа в нестандартном анализе. Бывает предел при стремлении функции или последовательности к бесконечности, в таком случае нет объекта "бесконечность", есть лишь неделимое с точки зрения смысла словосочетание "стремиться к бесконечности". Что оно означает, рассказано в учебниках матанализа за первый курс.

В теории меры есть множества бесконечной меры. При их рассмотрении бывает удобно определить результаты некоторых (не всех) операций над бесконечностью и действительными числами. Например, $x + \infty = \infty, \infty + \infty = \infty$, но операция $\infty - \infty$ не определена. В этом случае "бесконечность" - это просто название для элемента, который мы присоединяем к $ \mathbb R$ и разрешаем определенные операции. С тем же успехом можно было бы назвать его пивной кружкой.

В проективной геометрии бывают "бесконечно удаленные точки", но про них пусть расскажет тот, кто лучше с ней знаком.

Это только то, что знаю я - не математик. Привести все эти "бесконечности" к единому математическому понятию невозможно и не нужно.

И по поводу вопроса "если не число, то что?". Число - не базовый элемент в математике. Математика строится примерно так: мы берем некоторое множество и задаем на нем структуру: алгебраические операции, или функции типа метрики, или систему подмножеств, как в топологии, или еще что-нибудь. Элементы этого множества можно так и называть элементами, можно - точками. Иногда они по историческим причинам имеют специальные названия, например, натуральные числа или векторы. Но это, в сущности, традиция и ничего больше.

[epros]

Stratim в сообщении #1666622 писал(а):

Кстати, подскажите - бесконечность это что такое в современной математике, это число или как?

Не знаю, в каком контексте был задан вопрос, но если Вы готовы принять точку зрения, что в основание математики может быть положена теория множеств, то в теории множеств есть понятие "индуктивного множества", которое в некотором смысле (в смысле существования биекции) можно считать определяющим понятие "бесконечного множества" (оно же в просторечии - "бесконечность").

В достаточно сильных аксиоматиках теории множеств даже есть специальная аксиома, так и называемая "аксиомой бесконечности", которая как раз и утверждает существование индуктивного множества.